Лекция 8. Числовые последовательности.

Определение 8.1. Если каждому значению ставится в соответствие по определённому закону некоторое вещественное число x n , то множество занумерованных вещественных чисел

– сокращённая запись
, (8.1)

будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью.

Отдельные числа x n элементы или члены последовательности (8.1).

Последовательность может быть задана формулой общего члена, например так:
или
. Последовательность может задаваться неоднозначно, например последовательность –1, 1, –1, 1, … можно задать формулой
или
. Иногда используют рекуррентный способ задания последовательности: задаются первые несколько членов последовательности и формула для вычисления следующих элементов. Например, последовательность, определяемая первым элементом и рекуррентным соотношением
(арифметическая прогрессия). Рассмотрим последовательность, называемую рядом Фибоначчи : задаются первые два элемента x 1 =1, x 2 =1 и рекуррентное соотношение
при любом
. Получаем последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …. Для такого ряда найти формулу общего члена довольно трудно.

8.1. Арифметические действия с последовательностями.

Рассмотрим две последовательности:

(8.1)

Определение 8.2. Назовём произведением последовательности
на число m последовательность
. Запишем так:
.

Назовём последовательность суммой последовательностей (8.1) и (8.2), запишем так: ; аналогично
назовем разностью последовательностей (8.1) и (8.2);
произведением последовательностей (8.1) и (8.2); частным последовательностей (8.1) и (8.2) (все элементы
).

8.2. Ограниченные и неограниченные последовательности.

Совокупность всех элементов произвольной последовательности
образует некоторое числовое множество, которое может быть ограничено сверху (снизу) и для которого справедливы определения, аналогичные введённым для вещественных чисел.

Определение 8.3. Последовательность
называется ограниченной сверху , если ; М верхняя грань.

Определение 8.4. Последовательность
называется ограниченной снизу , если ; m нижняя грань.

Определение 8.5. Последовательность
называется ограниченной , если она ограничена и сверху, и снизу, то есть если существуют два вещественных числа М и m такие, что каждый элемент последовательности
удовлетворяет неравенствам:

, (8.3)

m и M – нижняя и верхняя грани
.

Неравенства (8.3) называют условием ограниченности последовательности
.

Например, последовательность
ограниченная, а
неограниченная.

♦ Утверждение 8.1.
является ограниченной .

Доказательство. Выберем
. Согласно определению 8.5 последовательность
будет ограниченной. ■

Определение 8.6 . Последовательность
называется неограниченной , если для любого положительного (сколь угодно большого) вещественного числа А найдётся хотя бы один элемент последовательности x n , удовлетворяющий неравенству:
.

Например, последовательность 1, 2, 1, 4, …, 1, 2n , … неограниченная, т.к. ограничена только снизу.

8.3. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.

Определение 8.7. Последовательность
называется бесконечно большой , если для любого (сколь угодно большого) вещественного числа А найдётся номер
такой, что при всех
элементы x n
.

☼ Замечание 8.1. Если последовательность бесконечно большая, то она неограниченная. Но не следует думать, что любая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, последовательность
не ограничена, но не является бесконечно большой, т.к. условие
не выполняется при всех чётных n . ☼

Пример 8.1.
является бесконечно большой. Возьмем любое число А >0. Из неравенства
получаем n >A . Если взять
, то для всех n >N будет выполняться неравенство
, то есть согласно определению 8.7, последовательность
бесконечно большая.

Определение 8.8. Последовательность
называется бесконечно малой , если для
(сколь угодно малого ) найдётся номер
такой, что при всех
элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству
.

Пример 8.2. Докажем, что последовательность бесконечно малая.

Возьмём любое число
. Из неравенства
получаем . Если взять
, то для всех n >N будет выполняться неравенство
.

♦ Утверждение 8.2. Последовательность
является бесконечно большой при
и бесконечно малой при
.

Доказательство.

1) Пусть сначала
:
, где
. По формуле Бернулли (пример 6.3, п. 6.1.)
. Фиксируем произвольное положительное число А и выберем по нему номер N такой, чтобы было справедливо неравенство:

,
,
,
.

Так как
, то по свойству произведения вещественных чисел при всех

.

Таким образом, для
найдется такой номер
, что при всех


– бесконечно большая при
.

2) Рассмотрим случай
,
(при q =0 имеем тривиальный случай).

Пусть
, где
, по формуле Бернулли
или
.

Фиксируем
,
и выберем
такой, чтобы

,
,
.

Для

. Укажем такой номер N , что при всех

, то есть при
последовательность
бесконечно малая. ■

8.4. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

♦ Теорема 8.1. Сумма

и

Доказательство. Фиксируем ;
– бесконечно малая

,

– бесконечно малая

. Выберем
. Тогда при

,
,
. ■

♦ Теорема 8.2 . Разность
двух бесконечно малых последовательностей
и
есть бесконечно малая последовательность.

Для доказательства теоремы достаточно использовать неравенство . ■

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.

♦ Теорема 8.3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство.
– ограниченная,
– бесконечно малая последовательность. Фиксируем ;
,
;
: при
справедливо
. Тогда
. ■

♦ Теорема 8.4. Всякая бесконечно малая последовательность является ограниченной.

Доказательство. Фиксируем Пусть некоторое число . Тогда
для всех номеров n , что и означает ограниченность последовательности. ■

Следствие. Произведение двух (и любого конечного числа) бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

♦ Теорема 8.5.

Если все элементы бесконечно малой последовательности
равны одному и тому же числу c , то с= 0.

Доказательство теоремы проводится методом от противного, если обозначить
. ■

♦ Теорема 8.6. 1) Если
– бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера n , определено частное двух последовательностей
и
, которое представляет собой бесконечно малую последовательность.

2) Если все элементы бесконечно малой последовательности
отличны от нуля, то частное двух последовательностей
и
представляет собой бесконечно большую последовательность.

Доказательство.

1) Пусть
– бесконечно большая последовательность. Фиксируем ;
или
при
. Таким образом, по определению 8.8 последовательность – бесконечно малая.

2) Пусть
– бесконечно малая последовательность. Предположим, что все элементы
отличны от нуля. Фиксируем А ;
или
при
. По определению 8.7 последовательность бесконечно большая. ■

Пусть X {\displaystyle X} - это либо множество вещественных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} } , либо множество комплексных чисел C {\displaystyle \mathbb {C} } . Тогда последовательность { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }} элементов множества X {\displaystyle X} называется числовой последовательностью .

Примеры

Операции над последовательностями

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности (x n) {\displaystyle (x_{n})} - это последовательность (x n k) {\displaystyle (x_{n_{k}})} , где (n k) {\displaystyle (n_{k})} - возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

  • Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
  • Последовательность натуральных чисел, кратных , является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

Предельная точка последовательности - это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом .

Предел последовательности

Предел последовательности - это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел - это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Фундаментальные последовательности

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность , последовательность Коши ) - это последовательность элементов метрического пространства , в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

Если функция определена на множестве натуральных чисел N, то такая функция называется бесконечной числовой последовательностью. Обычно числовые последовательность обозначают как(Xn), где n принадлежит множеству натуральных чисел N.

Числовая последовательность может быть задана формулой. Например, Xn=1/(2*n). Таким образом мы ставим в соответствие каждому натуральному числу n некоторый определенный элемент последовательности (Xn).

Если теперь последовательно брать n равными 1,2,3, …., мы получим последовательность (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Виды последовательности

Последовательность может быть ограниченной или неограниченной, возрастающей или убывающей.

Последовательность (Xn) называет ограниченной, если существуют два числа m и M такие, что для любого n принадлежащего множеству натуральных чисел, будет выполняться равенство m<=Xn

Последовательность (Xn), не являющаяся ограниченной, называется неограниченной последовательностью.

возрастающей, если для всех натуральных n выполняется следующее равенство X(n+1) > Xn. Другими словами, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть больше предыдущего члена.

Последовательность (Xn) называется убывающей, если для всех натуральных n выполняется следующее равенство X(n+1) < Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Пример последовательности

Проверим, являются ли последовательности 1/n и (n-1)/n убывающими.

Если последовательность убывающая, то X(n+1) < Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1)) < 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Значит последовательность (n-1)/n возрастающая.

Последовательность

Последовательность - это набор элементов некоторого множества:

  • для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;
  • это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
  • для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного выбора элементов заданного множества. И, если любой набор элементов является конечным, и говорят о выборке конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма.

Последовательность по своей природе - отображение, поэтому его не следует смешивать с множеством, которое «пробегает» последовательность.

В математике рассматривается множество различных последовательностей:

  • временные ряды как числовой, так и не числовой природы;
  • последовательности элементов метрического пространства
  • последовательности элементов функционального пространства
  • последовательности состояний систем управления и автоматов.

Целью изучения всевозможных последовательностей является поиск закономерностей, прогноз будущих состояний и генерация последовательностей.

Определение

Пусть задано некоторое множество элементов произвольной природы. | Всякое отображение множества натуральных чисел в заданное множество называется последовательностью (элементов множества ).

Образ натурального числа , а именно, элемент , называется -ым членом или элементом последовательности , а порядковый номер члена последовательности - её индексом.

Связанные определения

  • Если взять возрастающую последовательность натуральных чисел, то её можно рассматривать как последовательность индексов некоторой последовательности: если взять элементы исходной последовательности с соответствующими индексами (взятыми из возрастающей последовательности натуральных чисел), то можно снова получить последовательность, которая называется подпоследовательностью заданной последовательности.

Комментарии

  • В математическом анализе важным понятием является предел числовой последовательности .

Обозначения

Последовательности вида

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

или

иногда используются фигурные скобки:

Допуская некоторую вольность речи, можно рассматривать и конечные последовательности вида

,

которые представляют собой образ начального отрезка последовательности натуральных чисел.

См. также


Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :

Смотреть что такое "Последовательность" в других словарях:

    ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. У И. В. Киреевского в статье «Девятнадцатый век» (1830) читаем: «От самого падения Римской империи до наших времен просвещение Европы представляется нам в постепенном развитии и в беспрерывной последовательности» (т. 1, с.… … История слов

    ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, последовательности, мн. нет, жен. (книжн.). отвлеч. сущ. к последовательный. Последовательность каких нибудь явлений. Последовательность в смене приливов и отливов. Последовательность в рассуждениях. Толковый словарь Ушакова.… … Толковый словарь Ушакова

    Постоянство, преемственность, логичность; ряд, прогрессия, вывод, серия, вереница, череда, цепь, цепочка, каскад, эстафета; упорство, обоснованность, набор, методичность, расстановка, стройность, упорность, подпоследовательность, связь, очередь,… … Словарь синонимов

    ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, числа или элементы, расположенные в организованном порядке. Последовательности могут быть конечными (имеющие ограниченное число элементов) или бесконечными, как полная последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4 ....… … Научно-технический энциклопедический словарь

    ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде x1, x2,..., xn,... или коротко {xi} … Современная энциклопедия

    Одно из основных понятий математики. Последовательность образуется элементами любой природы, занумерованными натуральными числами 1, 2, ..., n, ..., и записывается в виде x1, x2, ..., xn, ... или коротко {xn} … Большой Энциклопедический словарь

    Последовательность - ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде x1, x2, ..., xn, ... или коротко {xi}. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

    ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. последовательный. 2. В математике: бесконечный упорядоченный набор чисел. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

    Англ. succession/sequence; нем. Konsequenz. 1. Порядок следования одного за другим. 2. Одно из основных понятий математики. 3. Качество правильного логического мышления, при к ром рассуждение свободно от внутренних противоречий по одному и тому… … Энциклопедия социологии

    Последовательность - «функция, определенная на множестве натуральных чисел, множество значений которой может состоять из элементов любой природы: чисел, точек, функций, векторов, множеств, случайных величин и др., занумерованных натуральными числами … Экономико-математический словарь

Книги

  • Выстраиваем последовательность. Котята. 2-3 года , . Игра "Котята" . Выстраиваем последовательность. 1 уровень. Серия" Дошкольное образование" . Весёлые котята решили позагорать на пляже! Но никак не могут поделить места. Помоги им разобраться!…

Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел .

Если функцию задать на множестве натуральных чисел
, то множество значений функции будет счетным и каждому номеру
ставится в соответствие число
. В этом случае говорят, что заданачисловая последовательность . Числаназываютэлементами или членами последовательности, а число– общим или–м членом последовательности. Каждый элементимеет последующий элемент
. Это объясняет употребление термина «последовательность».

Задают последовательность обычно либо перечислением ее элементов , либо указанием закона, по которому вычисляется элемент с номером, т.е. указанием формулы ее‑го члена.

Пример. Последовательность
может быть задана формулой :
.

Обычно последовательности обозначаются так: и т.п., где в скобках указывается формула ее-го члена.

Пример. Последовательность
‑это последовательность

Множество всех элементов последовательности
обозначается
.

Пусть
и
‑ две последовательности.

Суммой последовательностей
и
называют последовательность
, где
, т.е..

Разностью этих последовательностей называют последовательность
, где
, т.е..

Если и ‑ постоянные, то последовательность
,
называютлинейной комбинацией последовательностей
и
, т.е.

Произведением последовательностей
и
называют последовательность с-м членом
, т.е.
.

Если
, то можно определитьчастное
.

Сумма, разность, произведение и частное последовательностей
и
называются ихалгебраическими композициями .

Пример. Рассмотрим последовательности
и
, где. Тогда
, т.е. последовательность
имеет все элементы, равные нулю.

,
, т.е. все элементы произведения и частного равны
.

Если вычеркнуть некоторые элементы последовательности
так, чтобы осталось бесконечное множество элементов, то получим другую последовательность, называемуюподпоследовательностью последовательности
. Если вычеркнуть несколько первых элементов последовательности
, то новую последовательность называютостатком .

Последовательность
ограничена сверху (снизу ), если множество
ограничено сверху (снизу). Последовательность называютограниченной , если она ограничена сверху и снизу. Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничен любой ее остаток.

Сходящиеся последовательности

Говорят, что последовательность
сходится, если существует числотакое, что для любого
существует такое
, что для любого
, выполняется неравенство:
.

Число называютпределом последовательности
. При этом записывают
или
.

Пример.
.

Покажем, что
. Зададим любое число
. Неравенство
выполняется для
, такого, что
, что определение сходимости выполняется для числа
. Значит,
.

Иными словами
означает, что все члены последовательности
с достаточно большими номерами мало отличается от числа, т.е. начиная с некоторого номера
(при) элементы последовательности находятся в интервале
, который называется–окрестностью точки.

Последовательность
, предел которой равен нулю (
, или
при
) называетсябесконечно малой .

Применительно к бесконечно малым справедливы утверждения:

    Сумма двух бесконечно малых является бесконечно малой;

    Произведение бесконечно малой на ограниченную величину является бесконечно малой.

Теорема .Для того чтобы последовательность
имела предел, необходимо и достаточно чтобы
, где– постоянная;– бесконечно малая .

Основные свойства сходящихся последовательностей:


Свойства 3. и 4. обобщаются на случай любого числа сходящихся последовательностей.

Отметим, что при вычислении предела дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой линейные комбинации степеней , предел дроби равен пределу отношения старших членов (т.е. членов, содержащих наибольшие степеничислителя и знаменателя).

Последовательность
называется:


Все такие последовательности называют монотонными .

Теорема . Если последовательность
монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится и ее предел равен ее точной верхней грани; если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится к своей точной нижней грани.