Geomeetriliste kujundite alad on arvväärtused, mis iseloomustavad nende suurust kahemõõtmelises ruumis. Seda väärtust saab mõõta süsteemsetes ja mittesüsteemsetes ühikutes. Nii näiteks on mittesüsteemne pindalaühik sajandik, hektar. Seda juhul, kui mõõdetav pind on maatükk. Süsteemi pindalaühik on pikkuse ruut. SI-süsteemis on tasase pinna ühikuks ruutmeeter. GHS-is väljendatakse pindalaühikut ruutsentimeetrina.

Geomeetria ja pindalavalemid on omavahel lahutamatult seotud. See seos seisneb selles, et tasapinnaliste kujundite pindalade arvutamine põhineb just nende rakendamisel. Paljude jooniste jaoks on tuletatud mitu võimalust, mille põhjal arvutatakse nende ruudu mõõtmed. Probleemi püstituse andmete põhjal saame määrata võimalikult lihtsa lahenduse. See hõlbustab arvutamist ja vähendab arvutusvigade tõenäosust miinimumini. Selleks kaaluge geomeetria jooniste peamisi piirkondi.

Mis tahes kolmnurga pindala leidmise valemid on esitatud mitmes variandis:

1) Kolmnurga pindala arvutatakse aluse a ja kõrguse h järgi. Aluseks loetakse seda figuuri külge, millel kõrgus on langetatud. Siis on kolmnurga pindala:

2) Täisnurkse kolmnurga pindala arvutatakse samamoodi, kui hüpotenuus loetakse aluseks. Kui võtame aluseks jala, võrdub täisnurkse kolmnurga pindala pooleks lõigatud jalgade korrutisega.

Mis tahes kolmnurga pindala arvutamise valemid ei lõpe sellega. Teine avaldis sisaldab külgi a,b ja a ja b vahelise nurga γ siinusfunktsiooni. Siinusväärtuse leiate tabelitest. Seda saate teada ka kalkulaatori abil. Siis on kolmnurga pindala:

Seda võrdsust kasutades saate ka veenduda, et täisnurkse kolmnurga pindala määratakse jalgade pikkuste kaudu. Sest nurk γ on täisnurk, nii et täisnurkse kolmnurga pindala arvutatakse siinusfunktsiooniga korrutamata.

3) Vaatleme erijuhtumit - korrapärast kolmnurka, mille külg a on tingimuse järgi teada või selle pikkus on lahendamisel leitav. Geomeetriaülesandes oleva kujundi kohta pole rohkem midagi teada. Kuidas siis selle tingimusega ala leida? Sel juhul rakendatakse tavalise kolmnurga pindala valemit:

Ristkülik

Kuidas leida ristküliku pindala ja kasutada nende külgede mõõtmeid, millel on ühine tipp? Arvutamise avaldis on järgmine:

Kui peate ristküliku pindala arvutamiseks kasutama diagonaalide pikkusi, siis vajate nende lõikumisel tekkiva nurga siinuse funktsiooni. See ristküliku pindala valem on järgmine:

Ruut

Ruudu pindala määratakse külje pikkuse teise astmena:

Tõestus tuleneb definitsioonist, et ruut on ristkülik. Kõik ruudu moodustavad küljed on samade mõõtmetega. Seetõttu taandub sellise ristküliku pindala arvutamine üksteisega korrutamisele, st külje teise astmega. Ja ruudu pindala arvutamise valem võtab soovitud kuju.

Ruudu pindala saab leida muul viisil, näiteks kui kasutate diagonaali:

Kuidas arvutada kujundi pindala, mille moodustab ringiga piiratud tasapinna osa? Pindala arvutamiseks on järgmised valemid:

Paralleelogramm

Rööpküliku jaoks sisaldab valem külje lineaarmõõtmeid, kõrgust ja matemaatilisi tehteid - korrutamist. Kui kõrgus on teadmata, siis kuidas leida rööpküliku pindala? Arvutamiseks on veel üks viis. Vaja on teatud väärtust, mille võtab külgnevate külgede moodustatud nurga trigonomeetriline funktsioon ja nende pikkus.

Rööpküliku pindala valemid on järgmised:

Romb

Kuidas leida nelinurga pindala, mida nimetatakse rombiks? Rombi pindala määratakse lihtsa matemaatika abil diagonaalidega. Tõestus põhineb asjaolul, et diagonaallõigud punktides d1 ja d2 lõikuvad täisnurga all. Siinuste tabel näitab, et täisnurga korral on see funktsioon võrdne ühtsusega. Seetõttu arvutatakse rombi pindala järgmiselt:

Rombi pindala võib leida ka muul viisil. Seda pole ka raske tõestada, arvestades, et selle küljed on ühepikkused. Seejärel asendage nende korrutis rööpküliku sarnase avaldisega. Lõppude lõpuks on selle konkreetse kuju erijuhtum romb. Siin on γ rombi sisenurk. Rombi pindala määratakse järgmiselt:

Trapetsikujuline

Kuidas leida trapetsi pindala läbi aluste (a ja b), kui probleem näitab nende pikkust? Siin ei ole sellise trapetsi pindala ilma teadaoleva kõrguse pikkuse h väärtuseta võimalik arvutada. Sest see väärtus sisaldab arvutamise avaldist:

Samamoodi saab arvutada ka ristkülikukujulise trapetsi ruudu suurust. Arvesse võetakse, et ristkülikukujulises trapetsis liidetakse kõrguse ja külje mõisted. Seetõttu peate ristkülikukujulise trapetsi puhul määrama kõrguse asemel külje pikkuse.

Silinder ja rööptahukas

Mõelgem, mida on vaja kogu silindri pinna arvutamiseks. Selle joonise pindala on paar ringi, mida nimetatakse alusteks ja külgpinnaks. Ringe moodustavate ringide raadiuse pikkus on võrdne r-ga. Silindri pindala jaoks tehakse järgmine arvutus:

Kuidas leida rööptahuka ala, mis koosneb kolmest näopaarist? Selle mõõdud vastavad konkreetsele paarile. Vastaskülgedel on samad parameetrid. Kõigepealt leidke S(1), S(2), S(3) - ebavõrdsete tahkude ruudumõõtmed. Siis on rööptahuka pindala:

Sõrmus

Kaks ühise keskpunktiga ringi moodustavad rõnga. Need piiravad ka rõnga pindala. Sel juhul võtavad mõlemad arvutusvalemid arvesse iga ringi mõõtmeid. Esimene neist, arvutades rõnga pindala, sisaldab suuremat R-i ja väiksemat r-raadiust. Sagedamini nimetatakse neid väliseks ja sisemiseks. Teises avaldises arvutatakse rõnga pindala suurema D ja väiksema d läbimõõduga. Seega arvutatakse teadaolevate raadiuste põhjal rõnga pindala järgmiselt:

Rõnga pindala, kasutades läbimõõtude pikkusi, määratakse järgmiselt:

Hulknurk

Kuidas leida hulknurga pindala, mille kuju pole korrapärane? Selliste kujundite pindala jaoks pole üldist valemit. Aga kui see on kujutatud koordinaattasandil, näiteks võiks olla ruuduline paber, siis kuidas sel juhul pindala leida? Siin kasutavad nad meetodit, mis ei nõua figuuri ligikaudset mõõtmist. Nad teevad seda: kui nad leiavad punkte, mis langevad lahtri nurka või millel on terved koordinaadid, võetakse arvesse ainult neid. Selle piirkonna väljaselgitamiseks kasutage Peake'i tõestatud valemit. Vaja on liita punktide arv, mis asuvad katkendjoone sees, millel asuvad pooled punktid, ja lahutada üks, st see arvutatakse järgmiselt:

kus B, G - punktide arv, mis asuvad vastavalt kogu katkendjoone sees ja sellel.

Geomeetrilise kujundi pindala- geomeetrilise kujundi arvuline karakteristik, mis näitab selle kujundi suurust (pinnaosa, mida piirab selle kujundi suletud kontuur). Pindala suurust väljendatakse selles sisalduvate ruutühikute arvuga.

Kolmnurga pindala valemid

  1. Kolmnurga pindala valem külje ja kõrguse järgi
    Kolmnurga pindala võrdne poolega kolmnurga külje pikkuse ja sellele küljele tõmmatud kõrguse pikkusest
  2. Kolmnurga pindala valem, mis põhineb kolmel küljel ja ümbermõõdu raadiusel
  3. Kolmnurga pindala valem, mis põhineb sisse kirjutatud ringi kolmel küljel ja raadiusel
    Kolmnurga pindala on võrdne kolmnurga poolperimeetri ja sisse kirjutatud ringi raadiuse korrutisega.
    4. kus S on kolmnurga pindala,
    - kolmnurga külgede pikkused,
    - kolmnurga kõrgus,
    - nurk külgede ja
    - sisse kirjutatud ringi raadius,
    R - piiritletud ringi raadius,

Ruutpinna valemid

  1. Ruudu pindala valem küljepikkuse järgi
    Ruudukujuline ala võrdne selle külje pikkuse ruuduga.
  2. Valem ruudu pindala jaoks piki diagonaali pikkust
    Ruudukujuline ala võrdne poolega selle diagonaali pikkuse ruudust.
    S=1 2
    2
    3. kus S on ruudu pindala,
    - ruudu külje pikkus,
    - ruudu diagonaali pikkus.

Ristküliku pindala valem

    Ristküliku pindala võrdne selle kahe külgneva külje pikkuste korrutisega

    kus S on ristküliku pindala,
    - ristküliku külgede pikkused.

Parallelogrammi pindala valemid

  1. Rööpküliku pindala valem, mis põhineb külje pikkusel ja kõrgusel
    Rööpküliku pindala
  2. Rööpküliku pindala valem, mis põhineb kahel küljel ja nendevahelisel nurgal
    Rööpküliku pindala võrdub selle külgede pikkuste korrutisega nendevahelise nurga siinusega.

    a b sin α

    3. kus S on rööpküliku pindala,
    - rööpküliku külgede pikkused,
    - rööpküliku kõrguse pikkus,
    - rööpküliku külgede vaheline nurk.

Rombi pindala valemid

  1. Rombi pindala valem, mis põhineb külje pikkusel ja kõrgusel
    Rombi pindala on võrdne selle külje pikkuse ja sellele küljele langetatud kõrguse korrutisega.
  2. Rombi pindala valem, mis põhineb külje pikkusel ja nurgal
    Rombi pindala on võrdne tema külje pikkuse ruudu ja rombi külgede vahelise nurga siinuse korrutisega.
  3. Rombi pindala valem, mis põhineb selle diagonaalide pikkustel
    Rombi pindala võrdne poolega selle diagonaalide pikkuste korrutisest.
    4. kus S on rombi pindala,
    - rombi külje pikkus,
    - rombi kõrguse pikkus,
    - rombi külgede vaheline nurk,
    1, 2 - diagonaalide pikkused.

Trapetsi pindala valemid

  1. Heroni valem trapetsi jaoks

    kus S on trapetsi pindala,
    - trapetsi aluste pikkused,
    - trapetsi külgede pikkused,

Pindala valem on vajalik kujundi pindala määramiseks, mis on reaalväärtuslik funktsioon, mis on defineeritud Eukleidilise tasandi teatud arvude klassis ja mis vastab neljale tingimusele:

  1. Positiivsus – pindala ei tohi olla väiksem kui null;
  2. Normaliseerimine - küljeühikuga ruudu pindala on 1;
  3. Kongruentsus - kongruentsed kujundid on võrdse pindalaga;
  4. Aditiivsus - 2 figuuri liidu pindala ilma ühiste sisemiste punktideta võrdub nende kujundite pindalade summaga.
Geomeetriliste kujundite pindala valemid.
Geomeetriline kujund Valem Joonistamine

Kumera nelinurga vastaskülgede keskpunktide vaheliste kauguste liitmise tulemus on võrdne selle poolperimeetriga.

Ringi sektor.

Ringjoone sektori pindala on võrdne selle kaare ja poole raadiuse korrutisega.

Ringi segment.

Segmendi ASB pindala saamiseks piisab, kui lahutada kolmnurga AOB pindala sektori AOB pindalast.

S = 1/2 R(s – AC)

Ellipsi pindala võrdub ellipsi suurema ja väiksema pooltelje pikkuse ja arvu pi korrutisega.

Ellips.

Teine võimalus ellipsi pindala arvutamiseks on läbi selle kahe raadiuse.

Kolmnurk. Läbi aluse ja kõrguse.

Ringi pindala valem, kasutades selle raadiust ja läbimõõtu.

Ruut. Tema külje kaudu.

Ruudu pindala on võrdne selle külje pikkuse ruuduga.

Ruut. Läbi selle diagonaalide.

Ruudu pindala on võrdne poolega selle diagonaali pikkuse ruudust.

Regulaarne hulknurk.

Korrapärase hulknurga pindala määramiseks on vaja see jagada võrdseteks kolmnurkadeks, millel oleks kirjutatud ringi keskel ühine tipp.

S= r p = 1/2 r n a

Geomeetriaülesannete lahendamiseks peate teadma valemeid - näiteks kolmnurga pindala või rööpküliku pindala -, aga ka lihtsaid tehnikaid, mida me käsitleme.

Kõigepealt õpime selgeks jooniste pindalade valemid. Oleme need spetsiaalselt kogunud mugavasse tabelisse. Prindi, õpi ja kandideeri!

Muidugi pole kõik geomeetriavalemid meie tabelis. Näiteks matemaatika ühtse riigieksami profiili teises osas geomeetria ja stereomeetria probleemide lahendamiseks kasutatakse teisi kolmnurga pindala valemeid. Kindlasti räägime teile neist.

Aga mis siis, kui peate leidma mitte trapetsi või kolmnurga pindala, vaid mõne keeruka kujundi pindala? On universaalseid viise! Näitame neid FIPI tegumipanga näidete abil.

1. Kuidas leida mittestandardse figuuri pindala? Näiteks suvaline nelinurk? Lihtne tehnika – jagame selle kuju nendeks, millest teame kõike, ja leiame selle pindala – nende kujundite pindalade summana.

Jagage see nelinurk horisontaaljoonega kaheks kolmnurgaks, mille ühine alus on võrdne . Nende kolmnurkade kõrgused on võrdsed Ja . Siis on nelinurga pindala võrdne kahe kolmnurga pindalade summaga: .

Vastus:.

2. Mõnel juhul võib kujundi pindala esitada mõne ala erinevusena.

Polegi nii lihtne välja arvutada, millega selle kolmnurga alus ja kõrgus võrdub! Kuid võime öelda, et selle pindala on võrdne küljega ruudu ja kolme täisnurkse kolmnurga pindalade vahega. Kas näete neid pildil? Saame: .

Vastus:.

3. Mõnikord peate ülesandes leidma mitte kogu figuuri pindala, vaid selle osa. Tavaliselt räägime sektori pindalast - ringi osast, leidke selle ringi raadiusega sektori pindala, mille kaare pikkus on võrdne .

Sellel pildil näeme osa ringist. Kogu ringi pindala on võrdne . Jääb välja selgitada, milline ringi osa on kujutatud. Kuna kogu ringi pikkus on võrdne (alates ), ja antud sektori kaare pikkus on võrdne Seetõttu on kaare pikkus mitu korda väiksem kui kogu ringi pikkus. Nurk, mille all see kaar toetub, on samuti väiksem kui täisring (st kraadid). See tähendab, et sektori pindala on mitu korda väiksem kui kogu ringi pindala.

Teadmised Maa mõõtmise kohta tekkisid iidsetel aegadel ja kujunesid järk-järgult geomeetriateaduses. See sõna on kreeka keelest tõlgitud kui "maamõõtmine".

Maa tasase lõigu pikkuse ja laiuse ulatuse mõõt on pindala. Matemaatikas tähistatakse seda tavaliselt ladina tähega S (inglise keelest "ruut" - "pindala", "ruut") või kreeka tähega σ (sigma). S tähistab joonise pindala tasapinnal või keha pindala ja σ on füüsikas traadi ristlõike pindala. Need on peamised sümbolid, kuigi võib olla ka teisi, näiteks materjalide tugevuse valdkonnas on A profiili ristlõikepindala.

Kokkupuutel

Arvutusvalemid

Teades lihtsate kujundite alasid, saate leida keerukamate parameetreid.. Muistsed matemaatikud töötasid välja valemid, mida saab nende hõlpsaks arvutamiseks kasutada. Sellised kujundid on kolmnurk, nelinurk, hulknurk, ring.

Keerulise tasapinnalise kujundi pindala leidmiseks jaotatakse see paljudeks lihtsateks kujunditeks, nagu kolmnurgad, trapets või ristkülikud. Seejärel tuletatakse matemaatilisi meetodeid kasutades selle joonise pindala jaoks valem. Sarnast meetodit ei kasutata mitte ainult geomeetrias, vaid ka matemaatilises analüüsis kõveratega piiratud kujundite pindalade arvutamiseks.

Kolmnurk

Alustame kõige lihtsamast kujundist – kolmnurgast. Need on ristkülikukujulised, võrdhaarsed ja võrdkülgsed. Võtame suvalise kolmnurga ABC külgedega AB=a, BC=b ja AC=c (∆ ABC). Selle pindala leidmiseks tuletagem meelde koolimatemaatika kursusest tuntud siinus- ja koosinusteoreeme. Kõigist arvutustest loobudes jõuame järgmiste valemiteni:

  • S=√ - kõigile tuntud Heroni valem, kus p=(a+b+c)/2 on kolmnurga poolperimeeter;
  • S=a h/2, kus h on küljele a langetatud kõrgus;
  • S=a b (sin γ)/2, kus γ on külgede a ja b vaheline nurk;
  • S=a b/2, kui ∆ ABC on ristkülikukujuline (siin a ja b on jalad);
  • S=b² (sin (2 β))/2, kui ∆ ABC on võrdhaarne (siin b on üks “puusadest”, β on kolmnurga “puusade” vaheline nurk);
  • S=a² √¾, kui ∆ ABC on võrdkülgne (siin a on kolmnurga külg).

Nelinurk

Olgu nelinurk ABCD, mille AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Suvalise 4-nurga pindala S leidmiseks tuleb see jagada diagonaaliga kaheks kolmnurgaks, mille alad S1 ja S2 ei ole üldiselt võrdsed.

Seejärel kasutage nende arvutamiseks ja liitmiseks valemeid, st S=S1+S2. Kui aga 4-nurkne kuulub teatud klassi, saab selle pindala leida varem tuntud valemite abil:

  • S=(a+c) h/2=e h, kui tetragon on trapets (siin a ja c on alused, e on trapetsi keskjoon, h on trapetsi ühele alusele langetatud kõrgus);
  • S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, kui ABCD on rööpkülik (siin φ on nurk külgede a ja b vahel, h on küljele a langenud kõrgus, d1 ja d2 on diagonaalid);
  • S=a b=d²/2, kui ABCD on ristkülik (d on diagonaal);
  • S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, kui ABCD on romb (a on rombi külg, φ on üks selle nurkadest, P on ümbermõõt);
  • S=a²=P²/16=d²/2, kui ABCD on ruut.

Hulknurk

N-nurga pindala leidmiseks jagavad matemaatikud selle kõige lihtsamateks võrdseteks kujunditeks - kolmnurkadeks, leiavad igaühe pindala ja lisavad need. Kuid kui hulknurk kuulub tavaliste klassi, kasutage valemit:

S=a n h/2=a² n/=P²/, kus n on hulknurga tippude (või külgede) arv, a on n-nurga külg, P on selle ümbermõõt, h on apoteem, st a segment, mis on tõmmatud hulknurga keskpunktist selle ühele küljele 90° nurga all.

Ring

Ring on täiuslik hulknurk, millel on lõpmatu arv külgi. Peame arvutama parempoolse avaldise piiri hulknurga pindala valemis, mille külgede arv n kaldub lõpmatuseni. Sel juhul muutub hulknurga ümbermõõt raadiusega R ringi pikkuseks, mis on meie ringi piiriks, ja võrdub P=2 π R. Asendage see avaldis ülaltoodud valemiga. Me saame:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Leiame selle avaldise piiriks n→∞. Selleks võtame arvesse, et lim (cos (180°/n)) n→∞ korral on võrdne cos 0°=1 (lim on piiri märk) ja lim = lim n→∞ korral on võrdne 1/π (teisendasime kraadimõõtu radiaaniks, kasutades seost π rad=180° ja rakendasime esimese tähelepanuväärse piiri lim (sin x)/x=1 punktis x →∞). Asendades saadud väärtused S-i viimase avaldisega, jõuame tuntud valemini:

S = π² R² 1 (1/π) = π R².

Ühikud

Kasutatakse süsteemseid ja mittesüsteemseid mõõtühikuid. Süsteemiüksused kuuluvad SI-sse (System International). See on ruutmeeter (ruutmeeter, m²) ja sellest tuletatud ühikud: mm², cm², km².

Näiteks mõõdavad nad elektrotehnikas juhtmete ristlõikepinda ruutmillimeetrites (mm²), ruutsentimeetrites (cm²) - tala ristlõiget ehitusmehaanikas, ruutmeetrites (m²) - korteris või majas ruutkilomeetrites (km²) - geograafias .

Mõnikord kasutatakse aga mittesüsteemseid mõõtühikuid, näiteks: kudumine, ar (a), hektar (ha) ja aaker (ac). Toome välja järgmised seosed:

  • 100 ruutmeetrit = 1 a = 100 m² = 0,01 hektarit;
  • 1 ha = 100 a = 100 aakrit = 10000 m² = 0,01 km² = 2,471 aakrit;
  • 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 aakrit = 0,405 hektarit.