Olgu kaks sirget l ja m tasapinnal Cartesiuse koordinaatsüsteemis seatud ühiste võrrandite abil: L: A 1 x + B 1 Y + C1 \u003d 0, M: A 2 x + B2 Y + C2 \u003d 0

Normaalsed vektorid andmetele Direct: \u003d (A 1, B 1) - sirgjoonele l,

\u003d (A 2, b2) - sirgjoonele m.

Olgu J nurk sirge l ja m vahel.

Kuna vastastikku ristlõikega nurgad on võrdsed või p, siis See tähendab, cos j \u003d.

Niisiis oleme tõestanud järgmist teoreemi.

Teoreem. Olgu J BE olema nurk kahe sirge lennukil ja lase neil otseselt komplektid Cartesiuse koordinaatsüsteemis ühiste võrranditega 1 x + b 1 Y + C1 \u003d 0 ja 2 x + b2 Y + C2 \u003d 0. Siis cos j \u003d. .

Harjutused.

1) Väljuda valem, et arvutada nurk sirge, kui:

(1) Mõlemad sirged jooned on parameetrid; (2) Mõlemad otsesed on seatud kanoonilised võrrandid; (3) Üks otsene on parameetriliselt määratud, teine \u200b\u200botsene võrrand; (4) Mõlemad sirged jooned on antud nurgateguri võrrandi poolt.

2) Olgu J nurk kahe sirge tasapinnal ja lase neil otsekomplektide määrata Cartesiuse koordinaatide süsteemi võrrandite Y \u003d K1 x + B 1 ja Y \u003d K2 x + B2.

Siis TG J \u003d.

3) Uurige kahe otsese ühiste võrrandite vastastikust kokkulepet Cartesiuse koordinaatsüsteemis ja täitke tabelis:

Kaugus punktist otse lennukile suunamiseks.

Oletame, et Cartesiuse koordinaatsüsteemis tasapinnal on sirgjooneline L-line 1 võrrandi ax + by + c \u003d 0. Leiame kauguse punkti m (x 0, y 0) sirgjoonele L.

Vahemaa punktist m sirgjoonele L on risti hM pikkus (H î L, HM ^ L).

Tavalise vektor ja vektor otse Lollinaarseaarile, nii | | \u003d | | | | ja | | \u003d.

Olgu punkti H (x, y) koordinaadid.

Kuna punkt H kuulub sirgjoonele L, siis AX + by + C \u003d 0 (*).

Koordinaadid vektorid ja: \u003d (x 0 - x, y 0 - y), \u003d (a, b).

| | = = =

(C \u003d -Ax - vt (*))

Teoreem. Laske sirgelt anda Cartesiuse koordinaatsüsteemis kogu võrrandi AX + -ga + C \u003d C \u003d 0. Seejärel arvutatakse selle otsese vahemaa m (x 0, y 0-st) valemiga: R (m; L) \u003d .

Harjutused.

1) Väljund valemiga, et arvutada vahemaa punktist sirge, kui: (1) on määratud otsene parameeter; (2) otsesed kompoonilised võrrandid; (3) Direct on seatud võrrandi nurga koefitsiendiga.

2) Kirjutage sirgjoonega 3x-y \u003d 0-ga seotud ringi võrrand, keskpunkti Q (-2,4) keskusega.

3) Kirjutage otseste eraldusnurkade võrrandid, mis on moodustatud otsese 2x + y-y-1 ristmikul - 1 \u003d 0 ja x + y + 1 \u003d 0 poole.

§ 27. Kosmoses tasapinna analüütiline ülesanne

Määratlus. Vektor normaalne lennukile Me helistame nullvektorile, mis tahes esindaja on selle lennukiga risti.

Kommentaar. On selge, et kui vähemalt üks vektori esindaja on lennukiga risti, siis kõik teised vektori esindajad on selle lennukiga risti.

Laske kosmoses seatud Cartian Coordinate süsteem.

Lase anda lennuk A, \u003d (a, b, c) - normaalse vektor selle tasapinnale, punkt m (x 0, y 0, z 0) kuulub lennukile a.

Mis tahes punkti N (x, y, z) jaoks on vektorite ja ortogonaalsed, see tähendab, et nende skalaartoote on null: \u003d 0. Kirjutame viimase võrdsuse koordinaatides: a (x-x 0) + b ( Y-Y 0) + C (Z - Z 0) \u003d 0.

Let -ex 0 - 0 - CZ 0 \u003d D-ga, seejärel AX + By + CZ + D \u003d 0-ga.

Võtke punkt (X, Y) nii, et AX + By + CZ + D \u003d 0. Kuna D \u003d -ax 0 - 0 - CZ 0, siis A (x-x 0) + b (y-y 0) + c (z - z 0) \u003d 0. Kuna suunda segmendi koordinaadid \u003d (x - x 0, y-y 0, z - z 0), siis viimane võrdõiguslikkus tähendab, et ^ ja seetõttu K î a.

Niisiis, oleme tõestanud järgmist teoreemi:

Teoreem. Cartesiuse koordinaatimissüsteemi ruumis asuva ruumi saab määrata tüübi tüübi + CZ + D \u003d 0 (A 2 + B2 + C2 ≠ 0-ga) võrrandiga, kus (a, b, c) - Sellisele tasandile normaalse vektori koordinaadid.

Tõsi ja tagurpidi.

Teoreem. AX + võrrandi + CZ + D \u003d 0 (A 2 + B2 + C2 ≠ 0-ga) koordinaat seab koordinaat mõnele tasapinnale (a, b, c) - vektori koordinaadid normaalsele sellele tasandile.

Tõendid.

Võtke punkt m (x 0, y 0, z 0) nii, et AX 0 + 0 + CZ 0 + d \u003d 0 ja vektor \u003d (A, B, C) (Q).

Läbi punkti m risti vektoriga läbib lennuk (ja ainult üks). Vastavalt eelmise teoreemile on see lennuk määratud AX + poolt + CZ + D \u003d 0 võrrandiga.

Määratlus. Vormi AX + võrrandi + CZ + D \u003d 0 (A 2 + B2 + C2 ≠ 0) nimetatakse tasapinna ühine võrrand.

Näide.

Kirjutame võrrandi tasapinnal läbib punkte M (0,2,4), N (1, -1,0) ja K (-1,5).

1. Leiame tavalise vektori koordinaadid lennukile (MNK). Kuna vektortoote ei ole ortogonaalselt mittekontrollvektorid ja seejärel vektori koll.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

'\u003d (-11, 3, -5).

Niisiis, kui tavalise vektorina võtame vektori \u003d (-11, 3, -5).

2. Me kasutame nüüd esimese teoreemi tulemusi:

selle lennuki võrrand a (x-x 0) + b (y-y 0) + c (z - z 0) \u003d 0, kus (a, b, c) - vektori koordinaadid normaalseks, (x 0 , Y 0, Z 0) - tasapinnal asuva tasapinna punkti koordinaadid (näiteks punktid m).

11 (x - 0) + 3 (Y-2) - 5 (Z - 4) \u003d 0

11x + 3Y - 5Z + 14 \u003d 0

Vastus: -11x + 3Y - 5Z + 14 \u003d 0.

Harjutused.

1) Kirjutage tasapinna võrrand, kui

(1) Lennuk läbib punkti M (-2,3.0) paralleelselt tasapinnaga 3x + y + z \u003d 0;

(2) Lentastus sisaldab telje (härja) ja risti x + 2y lennukiga - 5Z + 7 \u003d 0.

2) Kirjutage kolme punkti andmed läbiva lennuki võrrandi.

§ 28. Half-ruumi analüütiline ülesanne *

Kommentaar *. Las mõned lennuk fikseeritud. All semispensionme mõistame selle tasapinna ühel küljel asuvate punktide komplekti, st kahes osas asuvad ühes pooles ruumis, kui nende ühendav segment ei lõika seda lennukit. Seda lennukit nimetatakse piiri selle poole ruumi. Selle lennukiga ja poolruumi ühendamist kutsutakse suletud poolruum.

Olgu Cartian Coordinate süsteem fikseeritud ruumi.

Teoreem. Laske tasandil A määrab üldise võrrandi AX + poolt + CZ + D \u003d 0. Seejärel üks kahest poolruumis, millele ruumi jagab ruumi, annab ebavõrdsuse AX + By + CZ + D\u003e 0 Ja teine \u200b\u200bpoolruum annab AX + poolt + INSEQUALITY CZ + D.< 0.

Tõendid.

Ma edasi lükata vektori normaalne \u003d (A, B, C) tasapinnale a punkti M (x 0, y 0, z 0) lamades sellel tasandil: \u003d, m î a, mn ^ a. Tasapinnalise jagamise ruumi kaheks poolerpidi: B 1 ja B 2. On selge, et punkt n kuulub ühele neist pool-ruumis. Ilma üldise piiramiseta eeldame, et n B 1.

Me tõestame, et poolruumi B1 on antud ebavõrdsuse AX + poolt + CZ + D\u003e 0-ga.

1) Võtke punkt k (x, y, z) poolruumi B 1. Ð NMK nurk on vektorite vaheline nurk ja terav, nii et nende vektorite Scalari produkt on positiivne:\u003e 0. Kirjutame selle ebavõrdsuse koordinaatides: a (x-x 0) + b (y - y 0) ) + C (Z - Z 0)\u003e 0, see tähendab, AX + By + Cy - AX 0 - 0 - C Z 0\u003e 0-ga.

Kuna m î B 1, siis AX 0 + 0 + C Z 0 + D \u003d 0, SO -AX 0 - 0 - C Z 0 \u003d D. Järelikult saab viimane ebavõrdsus kirjutada AS: AX + BY + CZ + D\u003e 0.

2) Võtke punkt l (x, y) nii, et AX + + CZ + D\u003e 0.

Ebavõrdsuse ümberkirjutamine, asendades d sisse (-ax 0 - 0 - C Z 0) (kuna M î B 1, seejärel AX 0 + 0 + C Z0 + D \u003d 0): a (x-x 0) + b (Y-Y 0) + C (Z - Z 0)\u003e 0.

Koordinaatide vektor (x-x 0, Y-y 0, Z - Z 0) on vektor, mistõttu ekspressioon a (x-x 0) + b (y-y 0) + c (z - z 0) võib mõista vektorite skalaartootena ja. Kuna vektorite Scalari produkt ja positiivselt on nende vaheline nurk akuutne ja punkt l î B 1.

Samamoodi võib tõendada, et poolruumi B2 on antud ebavõrdsuse AX + poolt + CZ + D-ga< 0.

Kommentaarid.

1) On selge, et tõend eespool ei sõltu valik punkt m lennukis a.

2) On selge, et sama poolruumi saab määrata erinevate ebavõrdsusega.

Tõsi ja tagurpidi.

Teoreem. Iga lineaarne ebavõrdsus AX + BY + CZ + D\u003e 0 (või AX + BY + CZ + D-ga< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Tõendid.

Võrrandi AX + By + CZ + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C2 ≠ 0) ruumis seab mõned tasapinnal a (vt § ...). Nagu eelmises teoreem tõestanud, üks kahest poolruumis, millele lennuk jagab ruumi, on seatud ebavõrdsuse AX AX + in + CZ + D\u003e 0-ga.

Kommentaarid.

1) On selge, et suletud poolruumi saab määrata mitterahvasse lineaarse ebavõrdsusega ja mis tahes mitte-range lineaarse ebavõrdsuse Cartesiuse koordinaatsüsteemis seab suletud poolruumi.

2) Iga kumer polühedronit saab küsida suletud poolruumi ristumiskohana (mille piirid on polühedri servad sisaldavad lennukid), mis on analüütiliselt lineaarse mitte-strateegilise ebavõrdsuse süsteem.

Harjutused.

1) Tõestada kaks teoreemi esitatud meelevaldse afiinsuse koordinaatide süsteemi.

2) Kas see on tõsi, et mis tahes süsteem mitte-strateegilise lineaarse ebavõrdsuse määrab kumer polügon?

Harjutus.

1) Uurige kahe planeedi vastastikust korraldust Üldised võrrandid Cartesiuse koordinaatsüsteemis ja täitke tabelis.

Määratlus

Geomeetriline kuju, mis koosneb kõigi kahe kiirguse vahel sõlmitud tasandi punktidest ühest punktist lamedas nurgas.

Määratlus

Nurk kahe vahelristumine sirge Väikseima tasapinna nurga ulatust otseste andmete ületamisel kutsutakse. Kui kaks sirget paralleeli on nende vaheline nurk vastu võrdne nulliga.

Kahe ristlõikude nurga suurus sirge (kui radiaanlaste tasapnurk) võivad võtta väärtusi nullist $ dfrac (PI) (2) $.

Määratlus

Kahe murdmaaüksuse vaheline nurk Seda nimetatakse väärtuseks, mis on võrdne kahe nurgaga sirge, paralleelse ületamise nurgaga. Direct $ $ A $ ja $ B $ nurk on tähistatud $ \\ nurk (A, B) $.

Määratlemise määratluse õigsus järgib järgmist teoreemi.

Teoreem korternurkadega paralleelsete külgedega

Väärtused kahe kumer korter nurga vastavalt paralleelselt ja võrdselt suunatud osapooltega on võrdsed.

Tõendid

Kui nurgad lähetatakse, siis nad on mõlemad võrdsed $ PI $. Kui nad ei ole lahti, siis lükata edasi vastavate külgede nurk $ \\ nurk A_1O_1B_1 EQUAL segmendid $ ON \u003d O_1ON_1 $ ja $ OM \u003d O_1M_1 $.

Neljakäivitus $ O_1N_1NO $ on paralleelogramm, kuna selle vastaskülgedel $ $ ja $ o_1n_1 $ on võrdsed ja paralleelsed. Samamoodi on nelja käivitus $ o_1m_1mo $ on paralleel. Seega $ NN_1 \u003d OO_1 \u003d MM_1 $ ja $ NN_1 \\ Parallel Oo_1 \\ Parallel MM_1 $, seega $ NN_1 \u003d MM_1 $ ja $ NN_1 \\ Parallel MM_1 $ transiidiivuses. Four-fingent $ n_1m_1mn $ - parallelogrammid, kuna selle vastasküljed on võrdsed ja paralleelsed. Niisiis on $ nM $ ja $ n_1m_1 $ segmendid võrdsed. Kolmnurgad $ $ ja $ o_1n_1m_1 $ on võrdne kolmandate kolmnurkade võrdsuse kolmanda märgiga, see tähendab, et $ \\ nurga nom $ $ ja $ \\ nurk N_1o_1m_1 $ on võrdsed.

aga. Olgu kaks sirget otseselt otseselt, sest see oli märgitud 1. peatükis, moodustades erinevaid positiivseid ja negatiivseid nurgereid, mis võivad olla nii teravad kui ka loll. Teades ühte neist nurkadest me lihtsalt leida mõnda muud.

Muide, kõik need nurgad on arvuline väärtus puutuja, sama, erinevus saab olla ainult märk

Võrrandid otsesed. Esimese ja teise sirge nurga juhtvektorite projektsiooni arv nende vektorite vahel on võrdne ühe sirgjoonte moodustunud nurgaga. Seetõttu vähendatakse ülesannet vektorite vahelise nurga määratlusele, saame

Lihtsuse puhul võib kokku leppida kahe otsese nurga all oleva nurga all (nagu näiteks joonisel fig 53).

Siis on selle nurga puutuja alati positiivne. Seega, kui miinusmärk on miinus valemiga (1) paremal küljel, siis peame selle ära visata, et säilitada ainult absoluutväärtus.

Näide. Määrake nurk sirge vahel

Valemiga (1)

alates. Kui see on märgitud, mis nurga küljest on selle algus ja mis lõppes, siis loendades nurga suunda päripäeva noole vastu, saame midagi enamat ekstraheerida. Joonisel fig. 53 märk, mille tulemuseks on valemi (1) parempoolne pool, mis näitab, milline neist on terav või loll - nurk moodustab teise otse esimesena.

(Tõepoolest, joonist 53 näeme, et esimese ja teise juhtvektori nurk või on võrdne soovitud nurga vahel sirge või erineb sellest ± 180 °.)

d. Kui otsene on paralleelne, siis paralleelsed ja nende juhtvektorid, rakendades kahe vektori paralleelsuse seisundit!

See on tingimus vajalik ja piisav kahe sirgjoone paralleelsuse jaoks.

Näide. Sirge

paralleelselt, sest

e. Kui otsene on risti nende juhtvektorite suhtes risti. Kahe vektori perpendiuuiklikkuse tingimuse rakendamine saame kahe otsese nimetuse perpendikulaarsuse seisundi nimelt

Näide. Sirge

risti selle tõttu, et

Paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimuste tõttu lahendame järgmised kaks ülesannet.

f. Punkti kaudu veeta paralleelselt sirge joone

Otsus viiakse läbi niimoodi. Kuna soovitud otsene on paralleelne sellega, siis saate selle juhtvektori jaoks sama, mis see otsene, s.o prognoosidega a ja V. ja siis on vormi võrrand kirjutatud (§ 1)

Näide. Võrrand on paralleelselt otse punkt (1; 3) läbi

seal on järgmine!

g. Punkti kaudu kulutada otsene risti selle otsese

Siin ei sobi juhtvektor enam vektori jaoks prognooside a ja ja vektorit, risti temaga risti. Selle vektori prognoosid tuleks seetõttu valida vastavalt mõlema vektorite perpendirolisuse seisundile s.o vastavalt tingimusele

Seda seisundit saab teha lugematutel viisidel, kuna siin on üks võrrand, kuid kõige lihtsam viis minna, siis võrrand on vormis soovitud sirgjoon

Näide. Võrrand on otseselt läbi viidud punkti (-7; 2) risti otseselt

seal on järgmine (vastavalt teisele valemile)!

h. Sellisel juhul, kui sirged jooned on määratud vaate võrranditega

nende võrrandite ümberkirjutamine teisiti

Ülesanne 1.

Leia cosinenurk Direct $ Frac (x + 3) (5) \u003d \\ Frac (Y-2) (- 3) \u003d Frac (Z-1) (4) $ ja $ \\ (Alusta ( Array) (c) (x \u003d 2 CDOT T-3) (Y \u003d -T + 1) \\\\ (Z \u003d 3 CDOT T + 5) lõpetada (massiiv) \\ õigus. $.

Olgu kaks sirget joont on toodud ruumis: $ \\ Frac (X-X_ (1)) (M_ (1)) \u003d Frac (Y-Y_ (1)) (N_ (1)) \u003d Frac (z- Z_ (1)) (p_ (1)) $ ja $ rport (x - x_ (2)) (M_ (2)) \u003d Frac (Y-Y_ (2)) (N_ (2)) \u003d Frac (Z- z_ (2)) (p_ (2)) $. Me valime ruumi meelevaldse punkti ja veeta kaks täiendavat sirget jooni selle paralleelselt andmetega. Nende vahelise otsese nurga nurk on mõni kahest abivahendist moodustatud külgneva nurga all. Kosiniku ühe nurga vahel sirge võib leida vastavalt tuntud Formula $ \\ t com \\ t + P_ (1) CDOT P_ (2)) (SQRT (M_ (1) ^ (2) + n_ (1) ^ (2) + p_ (1) ^ (2) ^ (2)) Cdot \\ t 2) ^ (2) + n_ (2) ^ (2) + p_ (2) ^ (2)) $. Kui väärtus on $ \\ t com \\ t Phi\u003e 0 $, siis äge nurk otse, kui $ \\ t

Esimese otsese otsese (X + 3) (5) canonical-võrrandid (5) \u003d frac (Y-2) (- 3) \u003d Frac (Z-1) (4) $.

Teise sirge kanoonilised võrrandid on parameetriliselt saadud:

\ \ \

Seega on selle otsene kanoonilised võrrandid: $ rhark (x + 3) (2) \u003d frac (Y-1) (- 1) \u003d frac (Z-5) (3) $.

Arvutama:

Phi \u003d Frac (5 CDOT 2+ vasakule (-3 paremale) CDot vasakule (-1 paremale) +4 CDOT 3) (SQRT (5 ^ (2) + \\ Vasakule (-3 paremale) ^ (2) + 4 ^ (2)) CDOT SQRT (2 ^ (2) + vasakule (-1 paremale) ^ (2) + 3 ^ (2))) Frac (25) (SQRT (50) CDOT (14)) ca 0,9449.]

Ülesanne 2.

Esimene otsene läbib kindlaksmääratud punktide kaudu $ a vasakule (2, -4, -1 paremale) $ ja $ B vasakule (-3,5,6 \\ õige) $, teine \u200b\u200botsene - läbi määratud punktide $ C \\ Leivu (1, -2,8 / paremale) $ ja $ d vasakule (6.7, -2 paremal) $. Leidke nende sirge vaheline kaugus.

Olgu mõned otse risti $ AB $ ja $ CD $ ja ületab neid punktide $ M $ ja $ N $. Nendel tingimustel on $ MN $ $ segmendi pikkus võrdne Direct $ AB $ ja $ CD $ vahemaaga.

Ehita $ \\ Overline Vector (AB) $:

[Overline (AB) \u003d vasakule (-3-2 ja paremale) \\ t CDOT (I) + \\ tjõsas (5- vasakule (-4 ja paremale) \\ paremale) \\ cdot Vasakule (6 - vasakule (-1 paremale) paremale) CDOT (K) \u003d - 5 CDOT (I) +9 CDOT (J) +7 CDOT (K) ). \\]

Laske segmendil kujutada vahekaugust sirge, läbib punkti $ m vasakule (x_ (m), y_ (m), z_ (m) \\ õige) $ otse $ ab $.

Ehita Vector $ \\ Overline (AM) $:

[\\ Tligline (am) \u003d vasakule (x_ (m) -2 paremale) \\ t cdot \\ baar (I) + \\ tsakta (y_ (m) - vasakule (-4 ja paremale) Bar (J) + \\ tsaktori (z_ (m) - vasakule) \\ cdot (k) \u003d \\] \\] \\] \\] \\] \\ t Vasak (y_ (m) +4 paremal) \\ cdot \\ baar (J) + \\ tjõsas (z_ (m) +1 \\ paremale) \\ cdot \\ baar (k). \\]

Voktorite $ \\ tjanuar (AB) $ ja $ \\ ülejääk (AM) $ langeb seega, seetõttu nad on collinear.

On teada, et kui vektorite $ rinnajoon (a) \u003d x_ (1) \\ t cdot \\ cdot \\ tligline (I) + y_ (1) \\ cdot \\ tjooneline (j) + z_ (1) $ \\ Tighteline (B) \u003d x_ (2) Cdot \\ tpidi (i) + y_ (2) c cdot \\ cdot \\ tjooneline (J) + z_ (2) \\ cdot \\ the , siis on $ \\ Frac (x _ ((((((((seda 2)) (((((("see 1)))) \u003d frac (y _ ((\\ t 2))) ((\\ t IT Y) _ (((see 1))) \u003d Frac (z _ (((seda 2))) (((see z) _ ((see 1))) $.

$ Rhar (x_ (m) -2) (- 5) \u003d frac (y_ (m) +4) (9) \u003d frac (z_ (m) +1) (7) \u003d m $, kus $ m $ - jagunemise tulemus.

Siit saame: $ x_ (m) -2 \u003d -5 c cdot m $; $ Y_ (M) + 4 \u003d 9 CDOT M $; $ Z_ (M) + 1 \u003d 7 CDOT M $.

Lõpuks saame väljendeid $ M $ Point'i koordinaatide jaoks:

Ehita Vector $ \\ Overline (CD) $:

\\ Tligline (CD) \u003d vasakule (6-1 ja paremal) Cdot (I) + \\ tjõur (7- vasakule (-2 paremale) \\ paremalt) \\ t CDOT (J) + \\ t Vasakule (-2-8 paremale) CDot (K) \u003d 5 CDOT (I) +9 CDOT (J) -10 CDOT (K) (K) \\ t

Laske segmendil kujutada vahemaa sirge, läbib punkti $ n vasakule (x_ (n), y_ (n), z_ (n) \\ paremalt) $ otse $ CD $.

Ehita Vector $ \\ Overline (CN) $:

[\\ Tligline (CN) \u003d vasakule (x_ (n) -1 \\ paremalt) \\ t cdot \\ baar (I) + \\ tsakta (y_ (n) - vasakule (-2 paremale) \\ õigus) Bar (J) + \\ tjõsas (z_ (n) -8 \\ paremalt) Cdot \\ Bar (K) \u003d \\] \\] \\] \\] \\ t vasakule (y_ (n) +2 paremal) CDot \\ baar (J) + \\ tsakta (z_ (n) -8 ja paremal) \\ t

Vektorid $ \\ ülejooneline (CD) $ ja $ \\ Tightline (CN) $ langeb seetõttu nad on collinear. Kandke kolleegide seisund vektorite seisund:

$ \\ Frac (X_ (N) -1) (5) \u003d Frac (Y_ (N) +2) (9) \u003d Frac (Z_ (N) -8) (- 10) \u003d N $, kus $ n $ - jagunemise tulemus.

Siit saame: $ x_ (n) -1 \u003d 5 cdot n $; $ Y_ (N) + 2 \u003d 9 CDOT N $; $ z_ (n) -8 \u003d -10 c cdot n $.

Lõpuks saame väljendeid punkti $ N $ koordinaatide jaoks:

Ehita Vector $ \\ Overline (MN) $:

[Overline (MN) \u003d vasakule (x_ (n) -x_ (m) \\ paremale) Cdot \\ baar (I) + \\ tjõsas (y_ (n) -y_ (m) ja) (J) + vasakule (z_ (n) -z_ (m) \\ paremale) \\ cdot \\ baar (k). \\]

Me asendame väljendeid punktide koordinaatide jaoks $ M $ ja $ N $:

[LigineLine (MN) \u003d vasakule (1 + 5 C CDOT N- \\ TÄHELEPANU (2-5 C CDOT M paremale) \\ paremalt) \\ CDot (I) + \\] 2 + 9 CDOT N- \\ Vahkamine (-4 + 9 c cdot m \\ paremale) \\ paremale) \\ paremale) Cdot \\ baar (j) + M ja õigus) \\ õige) cdot \\ t baar (k). \\]

Pärast tegevuste täitmist saame:

[Overline (MN) \u003d vasakule (-1 + 5 C CDOT N + 5 C CDOT M paremale) \\ CDot ) CDOT \\ Bar (J) + \\ Vahama (9-10 C CDOT N-7 CDOT m ja paremal) \\ t

Kuna Direct $ AB $ ja $ MN $ on risti, siis vastavate vektorite skalaartoode on , see tähendab, $ \\ CDOT \\ CDOT \\ TÄHELEPANU (MN)

[- 5 CDOT vasakule (-1 + 5 C CDOT N + 5 CDOT M paremale) +9 CDOT-i vasakule (2 + 9 CDOT N-9 CDOT m ja paremal) +7 \\ t Vasakule (9-10 CDOT N-7 CDOT M paremal) \u003d 0; \\ t

Pärast toimingute tegemist saame esimese võrrandi määrata $ M $ ja $ N $: $ 155 CDOT M + 14 CDOT N \u003d $ 86.

Alates otsest $ CD $ ja $ MN $ on risti, siis vastavate vektorite Scalar Product on , see tähendab $ \\ CDOT (CD) CDOT (MN) \u003d 0 $: 0 $:

\\ \\ T - 5 + 25 CDOT N + 25 CDOT M + 18 + 81 CDOT N-81 CDOT M-90 + 100 CDOT N + 70 CDOT M \u003d 0.]

Pärast toimingute tegemist saame teise võrrandi, et määrata $ m $ ja $ n $: $ 14 CDOT M + 206 CDOT N \u003d $ 77.

Leiame $ M $ ja $ N $, lahendades võrrandite süsteemi $ vasakule (Alusta (Array) (C) (155 CDOT M + 14 CDOT N \u003d 86) \\\\ (14 CDOT M + 206 CDot n \u003d 77) lõpetada (massiiv) paremale. $.

Me kasutame Craver meetodit:

[Delta \u003d vasakule | algab (massiiv) (CC) (155) & (14) (14) (14) & (206) \\ Lõputus (massiiv) \\ paremale | \u003d 31734; \\] \\] [Delta _ (m) \u003d vasakpoolne | algab (massiiv) (CC) (86) & (14) \\\\ (14) (77) & (206) \\ Lõputus (massiiv) \\ paremale | \u003d 16638; ] [Delta _ (n) \u003d vasakule | algab (massiiv) (CC) (155) & (86) (14) & (77) lõpeb (massiiv) \\ paremalt | \u003d 10731; \\ ]

Me leiame punktide koordinaadid $ M $ ja $ N $:

\ \

Lõpuks:

Lõpuks kirjutada Vector $ \\ Overline (MN) $:

$ \\ Tikreline (MN) \u003d vasakule (2,691- \\ thobi (-0,0,6215 ja vasakule (-0,0,0,0,0,6215 paremale) \\ paremale) \\ paremal) \\ õigus) \\ t ) + \\ t +1,9479 CDOT (k) $.

Direct $ AB $ ja $ CD $ vaheline kaugus on $ ülemise (MN) $: $ D \u003d Sqrt (3,3125 ^ (2) + 0,3251 ^ (2) + 1,9479 ^ (2) )) Ca. cap $ 3,8565 lin. üksused.

Iga schoolboy, kes valmistub eksami matemaatika aitab korrata teema "leida nurga sirge." Statistika näitamisel, kui sertifitseerimiskatse edastamine toimub, põhjustab selle stereomeetria sektsiooni ülesanne raskusi suure hulga õpilastega. Samal ajal leidub eksami põhilise ja profiili tasemel nõutavad ülesanded otsese nurga all. See tähendab, et igaüks peaks suutma otsustada.

Rõhutab

Kosmoses on otsene vastastikuse asukoha tüüp. Nad võivad langeda kokku, lõikuvad, olla paralleelsed või ületavad. Nende vaheline nurk võib olla terav või sirge.

Otsese kasutamise nurga leidmiseks või näiteks lahendamisel, Moskva ja teiste linnade koolilapsed saavad kasutada mitmeid võimalusi probleemide lahendamiseks selles stereomeetria sektsioonis. Te saate ülesande täita klassikaliste hoonete poolt. Selleks on väärt õppida peamisi aksioomeid ja stereomeetria teoreeme. Schoolboy peab suutma loogiliselt ehitada põhjendusi ja luua jooniseid, et viia ülesanne planeetilisele ülesandele.

Samuti saate kasutada vektori koordinaatide meetodit, rakendades lihtsaid valemeid, reegleid ja algoritme. Sellisel juhul peamine asi on kõikide arvutuste õigesti täitmine. Pooled nende oskused lahendada probleeme stereomeetria ja teiste koolist julguse sektsiooni probleemide lahendamiseks, mis aitavad teil haridusprojekti "SHKOLKOVO".