Математика, която харесвам. Най-голямото число в света е 1 със 100 нули, както се нарича

Като дете бях измъчван от въпроса кое е най-голямото число и измъчвах почти всички с този глупав въпрос. След като научих числото един милион, попитах дали има число, по-голямо от милион. Милиард? Какво ще кажете за повече от милиард? Трилион? Какво ще кажете за повече от трилион? Най-накрая се намери някой умен, който ми обясни, че въпросът е глупав, тъй като е достатъчно само да добавиш едно към най-голямото число и се оказва, че никога не е било най-голямото, тъй като има и по-големи числа.

И така, много години по-късно, реших да си задам друг въпрос, а именно: Кое е най-голямото число, което има собствено име?За щастие, сега има интернет и можете да озадачите търсачките с него, които няма да нарекат въпросите ми идиотски ;-). Всъщност това направих и това разбрах в резултат.

Има две системи за именуване на числата – американска и английска.

Американската система е изградена доста просто. Всички имена на големи числа са изградени по следния начин: в началото има латински пореден номер, а в края се добавя наставката -милион. Изключение прави името "милион", което е името на числото хиляда (лат. mille) и увеличителната наставка -illion (виж таблицата). Ето как получаваме числата трилион, квадрилион, квинтилион, секстилион, септилион, октилион, нонилион и децилион. Американската система се използва в САЩ, Канада, Франция и Русия. Можете да разберете броя на нулите в число, написано според американската система, като използвате простата формула 3 x + 3 (където x е латинска цифра).

Английската система за именуване е най-разпространената в света. Използва се например във Великобритания и Испания, както и в повечето бивши английски и испански колонии. Имената на числата в тази система са построени по следния начин: така: наставката -милион се добавя към латинското число, следващото число (1000 пъти по-голямо) се изгражда по принципа - същата латинска цифра, но наставката - милиард. Тоест след трилион в английската система следва трилион и едва след това квадрилион, последван от квадрилион и т.н. Така квадрилион според английската и американската система са напълно различни числа! Можете да разберете броя на нулите в число, написано според английската система и завършващо с наставката -милион, като използвате формулата 6 x + 3 (където x е латинска цифра) и като използвате формулата 6 x + 6 за числа завършващи на - милиард.

Само числото милиард (10 9) премина от английската система в руския език, което все пак би било по-правилно да се нарича, както го наричат ​​американците - милиард, тъй като ние сме приели американската система. Но кой у нас прави нещо по правилата! ;-) Между другото, понякога думата трилион се използва на руски (можете да видите това сами, като потърсите в Googleили Yandex) и това означава, очевидно, 1000 трилиона, т.е. квадрилион.

В допълнение към числата, написани с латински префикси според американската или английската система, са известни и така наречените несистемни числа, т.е. номера, които имат собствени имена без латински префикси. Има няколко такива номера, но ще ви разкажа повече за тях малко по-късно.

Да се ​​върнем към писането с латински цифри. Изглежда, че те могат да записват числа до безкрайност, но това не е съвсем вярно. Сега ще обясня защо. Нека първо видим как се наричат ​​числата от 1 до 10 33:

И сега възниква въпросът какво следва. Какво стои зад децилиона? По принцип е, разбира се, възможно чрез комбиниране на префикси да се генерират такива чудовища като: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion и novemdecillion, но това вече ще бъдат съставни имена и ние бяхме интересуват се от собствените ни имена. Следователно, според тази система, в допълнение към посочените по-горе, все още можете да получите само три собствени имена - vigintillion (от лат. вигинти- двадесет), центилион (от лат. центум- сто) и милион (от лат. mille- хиляди). Римляните не са имали повече от хиляда собствени имена за числа (всички числа над хиляда са били съставни). Например римляните са наричали милион (1 000 000) decies centena milia, тоест „десетстотин хиляди“. И сега, всъщност, таблицата:

По този начин, според такава система, е невъзможно да се получат числа, по-големи от 10 3003, които да имат собствено, несъставно име! Но въпреки това са известни числа, по-големи от милион - това са същите несистемни числа. Нека най-накрая да поговорим за тях.

Най-малкото такова число е безброй(има го дори в речника на Дал), което означава сто стотици, тоест 10 000. Тази дума обаче е остаряла и практически не се използва, но е любопитно, че думата „мириади“ се използва широко, което не изобщо определен брой, но безброй, неизброими множества от нещо. Смята се, че думата безброй идва в европейските езици от древен Египет.

Google(от англ. googol) е числото десет на стотна степен, тоест едно, последвано от сто нули. За „googol“ се пише за първи път през 1938 г. в статията „Нови имена в математиката“ в януарския брой на списанието Scripta Mathematica от американския математик Едуард Каснер. Според него деветгодишният му племенник Милтън Сирота е предложил голямото число да се нарече „гугол“. Този номер стана широко известен благодарение на търсачката, кръстена на него. Google. Моля, обърнете внимание, че „Google“ е име на марка, а googol е число.

В известния будистки трактат Джайна сутра, датиращ от 100 г. пр.н.е., числото се появява асанхея(от Китай асензи- неизброимо), равно на 10 140. Смята се, че това число е равно на броя на космическите цикли, необходими за постигане на нирвана.

Гуголплекс(Английски) googolplex) - число, също измислено от Каснер и неговия племенник и означаващо единица с гугол от нули, тоест 10 10 100. Ето как самият Каснер описва това „откритие“:

Мъдрите думи се изричат ​​от децата поне толкова често, колкото и от учените. Името "googol" е измислено от дете (деветгодишният племенник на д-р Каснър), което е помолено да измисли име за много голямо число, а именно 1 със сто нули след него. Той беше много сигурен, че това число не беше безкрайно и следователно също толкова сигурно, че трябваше да има име същотоКогато предложи "googol", той даде име за още по-голямо число: "Googolplex". Googolplex е много по-голям от googol, но все още е ограничен, както бързо отбеляза изобретателят на името.

Математика и въображение(1940) от Каснър и Джеймс Р. Нюман.

Още по-голямо число от googolplex, числото на Skewes, е предложено от Skewes през 1933 г. J. London Math. Soc. 8 , 277-283, 1933.) при доказване на хипотезата на Риман относно простите числа. Това означава ддо известна степен ддо известна степен дна степен 79, тоест e e e 79. По-късно te Riele, H.J.J. „За знака на разликата П(x)-Li(x)." математика Изчисл. 48 , 323-328, 1987) редуцира числото на Skuse до e e 27/4, което е приблизително равно на 8,185 10 370. Ясно е, че тъй като стойността на числото на Skuse зависи от числото д, то не е цяло число, така че няма да го разглеждаме, иначе би трябвало да помним други неестествени числа - pi, e, числото на Авогадро и т.н.

Но трябва да се отбележи, че има второ число на Skuse, което в математиката се означава като Sk 2, което е дори по-голямо от първото число на Skuse (Sk 1). Второ число на Skewes, е въведено от J. Skuse в същата статия, за да обозначи числото, до което е валидна хипотезата на Риман. Sk 2 е равно на 10 10 10 10 3, тоест 10 10 10 1000.

Както разбирате, колкото повече степени има, толкова по-трудно е да разберете кое число е по-голямо. Например, разглеждайки числата на Skewes, без специални изчисления е почти невъзможно да разберем кое от тези две числа е по-голямо. По този начин за супер-големи числа става неудобно да се използват степени. Освен това можете да измислите такива числа (и те вече са измислени), когато степените на градусите просто не се побират на страницата. Да, това е на страницата! Те няма да се поберат дори в книга с размерите на цялата Вселена! В този случай възниква въпросът как да ги запишем. Проблемът, както разбирате, е разрешим и математиците са разработили няколко принципа за писане на такива числа. Вярно е, че всеки математик, който се чудеше на този проблем, измисли свой собствен начин на писане, което доведе до съществуването на няколко, несвързани помежду си, метода за записване на числа - това са нотациите на Кнут, Конуей, Стайнхаус и др.

Помислете за нотацията на Hugo Stenhouse (H. Steinhaus. Математически моментни снимки, 3-то изд. 1983), което е доста просто. Stein House предложи да се изпишат големи числа в геометрични фигури - триъгълник, квадрат и кръг:

Стайнхаус излезе с две нови свръхголеми числа. Той назова номера - мега, а числото е Мегистон.

Математикът Лео Мозер усъвършенства нотацията на Стенхаус, която беше ограничена от факта, че ако е необходимо да се запишат числа, много по-големи от мегистон, възникват трудности и неудобства, тъй като много кръгове трябва да бъдат начертани един в друг. Мозер предложи след квадратите да се нарисуват не кръгове, а петоъгълници, след това шестоъгълници и т.н. Той също така предложи официална нотация за тези многоъгълници, така че числата да могат да се записват без да се рисуват сложни картини. Нотацията на Мозер изглежда така:

По този начин, според нотацията на Мозер, мега на Щайнхаус се записва като 2, а мегистон като 10. Освен това Лео Мозер предложи да се нарече многоъгълник с броя на страните, равен на мега - мегагон. И той предложи числото „2 в Мегагон“, тоест 2. Това число стана известно като числото на Мозер или просто като Мозер.

Но Мозер не е най-големият брой. Най-голямото число, използвано някога в математическото доказателство, е границата, известна като Числото на Греъм(числото на Греъм), използвано за първи път през 1977 г. в доказателството на една оценка в теорията на Рамзи. Свързано е с бихроматични хиперкубове и не може да бъде изразено без специална система от 64 нива от специални математически символи, въведена от Кнут през 1976 г.

За съжаление, число, записано в нотацията на Кнут, не може да бъде преобразувано в нотация в системата на Мозер. Следователно ще трябва да обясним и тази система. По принцип в това също няма нищо сложно. Доналд Кнут (да, да, това е същият Кнут, който написа „Изкуството на програмирането“ и създаде редактора на TeX) излезе с концепцията за суперсила, която предложи да се напише със стрелки, сочещи нагоре:

IN общ изгледизглежда така:

Мисля, че всичко е ясно, така че нека се върнем към номера на Греъм. Греъм предложи така наречените G-числа:

Номерът G 63 започва да се нарича Числото на Греъм(често се обозначава просто като G). Това число е най-голямото известно число в света и дори е вписано в Книгата на рекордите на Гинес. Числото на Греъм е по-голямо от числото на Мозер.

P.S.За да донеса голяма полза на цялото човечество и да стана известен през вековете, реших сам да измисля и назова най-голямото число. Този номер ще бъде извикан телбоди е равно на числото G 100. Запомнете го и когато децата ви попитат кое е най-голямото число в света, кажете им, че се нарича това число телбод.

Актуализация (4.09.2003):Благодаря на всички за коментарите. Оказа се, че съм допуснал няколко грешки при писането на текста. Сега ще се опитам да го оправя.

1. Направих няколко грешки само като споменах номера на Авогадро. Първо, няколко души ми посочиха, че всъщност 6.022 10 23 е най-добрият естествено число. И второ, има мнение и ми се струва правилно, че числото на Авогадро изобщо не е число в истинския, математически смисъл на думата, тъй като зависи от системата от единици. Сега се изразява в „mol -1“, но ако се изрази например в молове или нещо друго, тогава ще бъде изразено като съвсем различно число, но това изобщо няма да престане да бъде числото на Авогадро.
2. 10 000 - тъмнина
   100 000 - легион
   1 000 000 - леодр
   10 000 000 - гарван или корвид
   100 000 000 - колода
   Интересното е, че древните славяни също са обичали големите числа и са умеели да броят до милиард. Освен това те нарекоха такъв акаунт „малък акаунт“. В някои ръкописи авторите също смятат " страхотен резултат", достигайки до числото 10 50. За числата, по-големи от 10 50, беше казано: „И повече от това не може да се разбере от човешкия ум." Имената, използвани в „малкото броене“, бяха прехвърлени към „голямото броене“, но с различно значение.Така тъмнината означаваше не 10 000, а милион, легион - тъмнината на онези (милион милиона); леодр - легион легиони (10 на 24-та степен), тогава каза - десет леодра, а сто леодров, ... и накрая сто хиляди тези легион леодров (10 в 47); леодр леодров (10 в 48) се нарича гарван и накрая колода (10 в 49).
3. Темата за националните имена на числата може да се разшири, ако си спомним за японската система за именуване на числата, която бях позабравила, която е много различна от английската и американската система (няма да рисувам йероглифи, ако някой се интересува, те са ):
   10 0 - ичи
   10 1 - джюу
   10 2 - хяку
   10 3 - сен
   10 4 - човек
   10 8 - оку
   10 12 - чоу
   10 16 - кей
   10 20 - гай
   10 24 - джйо
   10 28 - jyou
   10 32 - коу
   10 36 - кан
   10 40 - сей
   10 44 - сай
   10 48 - гоку
   10 52 - гугася
   10 56 - асуги
   10 60 - наюта
   10 64 - фукашиги
   10 68 - muryoutaisuu
4. Относно числата на Хуго Щайнхаус (в Русия по някаква причина името му се превежда като Хуго Щайнхаус). ботев уверява, че идеята за писане на свръхголеми числа под формата на числа в кръгове не принадлежи на Steinhouse, а на Daniil Kharms, който много преди него публикува тази идея в статията „Повишаване на число“. Искам също да благодаря на Евгений Скляревски, автора на най-интересния сайт за занимателна математика в рускоезичния интернет - Arbuza, за информацията, че Стайнхаус е измислил не само числата мега и мегистон, но е предложил и друго число медицинска зона, равно (в неговата нотация) на "3 в кръг".
5. Сега за броя безбройили мирой. Има различни мнения за произхода на това число. Някои смятат, че произхожда от Египет, докато други смятат, че се е родил едва в Древна Гърция. Както и да е, безбройните са придобили слава именно благодарение на гърците. Мириада беше името за 10 000, но нямаше имена за числа, по-големи от десет хиляди. Въпреки това, в своята бележка „Psammit“ (т.е. пясъчно смятане), Архимед показа как систематично да конструира и наименува произволно големи числа. По-конкретно, поставяйки 10 000 (безброй) пясъчни зърна в маково семе, той открива, че във Вселената (топка с диаметър от безброй диаметри на Земята) не могат да се поберат повече от 10 63 пясъчни зърна (в нашата нотация). Любопитно е, че съвременните изчисления на броя на атомите във видимата Вселена водят до числото 10 67 (общо безброй пъти повече). Архимед предлага следните имена за числата:
   1 безброй = 10 4 .
   1 ди-мириада = безброй от мириади = 10 8 .
   1 тримириада = димириада димириада = 10 16 .
   1 тетра-мириад = три-мириад три-мириад = 10 32 .
   и т.н.

Ако имате коментари -

Известен система за търсене, а компанията, създала тази система и много други продукти, е кръстена на числото гугол – едно от най-големите числа в безкрайния набор от естествени числа. Най-големият брой обаче дори не е гугол, а гуголплекс.

Числото googolplex е предложено за първи път от Едуард Каснер през 1938 г.; то представлява единица, последвана от невероятен брой нули. Името идва от друго число - googol - единица, последвана от сто нули. Обикновено числото googol се изписва като 10 100 или 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Googolplex от своя страна е числото десет на степен googol. Обикновено се записва така: 10 10 ^100 и това е много, много нули. Има толкова много от тях, че ако решите да преброите броя на нулите, като използвате отделни частици във Вселената, ще ви свършат частиците, преди да ви свършат нулите в googolplex.

Според Карл Сейгън записването на това число е невъзможно, защото записването му ще изисква повече място, отколкото съществува във видимата вселена.

Как работи "мозъчната поща" - предаване на съобщения от мозък на мозък чрез интернет

10 мистерии на света, които науката най-накрая разкри

10 основни въпроса за Вселената, на които учените търсят отговор в момента

2500-годишна научна мистерия: Защо се прозяваме

3 от най-глупавите аргументи, които противниците на Теорията на еволюцията използват, за да оправдаят невежеството си

Възможно ли е да се реализират способностите на супергероите с помощта на съвременните технологии?

Всеки два обекта във вакуум ще паднат с еднаква скорост

Има числа, които са толкова невероятно, невероятно големи, че ще отнеме цялата вселена дори да ги запише. Но ето какво е наистина лудо... някои от тези необозримо големи числа са от решаващо значение за разбирането на света.

когато кажа "не" по-голям бройвъв Вселената'', всъщност имам предвид най-големия значителноброй, максималният възможен брой, който е полезен по някакъв начин. Има много претенденти за тази титла, но веднага ще ви предупредя: наистина има риск опитът да разберете всичко това да ви обърка главата. И освен това, с твърде много математика, няма да се забавлявате много.

Googol и googolplex

Едуард Каснер

Бихме могли да започнем с най-вероятно двете най-големи числа, за които някога сте чували, и това наистина са двете най-големи числа, които имат общоприети определения в английски език. (Има доста точна номенклатура, използвана за обозначаване на числа, толкова големи, колкото искате, но тези две числа няма да намерите в речниците днес.) Googol, откакто стана световно известен (макар и с грешки, забележете. всъщност това е googol ) под формата на Google, роден през 1920 г. като начин да накараме децата да се интересуват от големите числа.

За тази цел Едуард Каснър (на снимката) заведе двамата си племенници, Милтън и Едуин Сирот, на разходка из Ню Джърси Палисейдс. Той ги покани да измислят някакви идеи и тогава деветгодишният Милтън предложи „googol“. Откъде е взел тази дума, не е известно, но Каснер реши така или число, в което сто нули следват единицата, отсега нататък ще се нарича гугол.

Но младият Милтън не спря дотук; той предложи още по-голям брой, googolplex. Това е число, според Милтън, в което първото място е 1, а след това толкова нули, колкото можете да напишете, преди да се уморите. Въпреки че идеята е завладяваща, Каснер реши, че е необходимо по-официално определение. Както той обяснява в книгата си от 1940 г. „Математиката и въображението“, дефиницията на Милтън оставя отворена рискованата възможност един случаен шут да стане математик, превъзхождащ Алберт Айнщайн, просто защото има по-голяма издръжливост.

И така Каснер реши, че гуголплекс ще бъде , или 1, и след това гугол с нули. В противен случай и в нотация, подобна на тази, с която ще се занимаваме с други числа, ще кажем, че гуголплекс е . За да покаже колко завладяващо е това, Карл Сейгън веднъж отбеляза, че е физически невъзможно да се запишат всички нули на гуголплекс, защото просто няма достатъчно място във Вселената. Ако запълним целия обем на наблюдаваната Вселена малки частиципрах с размер приблизително 1,5 микрона, броят на различните начини, по които тези частици могат да бъдат подредени, ще бъде приблизително равен на един гуголплекс.

От лингвистична гледна точка, googol и googolplex вероятно са двете най-големи значими числа (поне на английски език), но, както сега ще установим, има безкрайно много начини да се дефинира „значимостта“.

Реалния свят

Ако говорим за най-голямото значително число, има разумен аргумент, че това наистина означава, че трябва да намерим най-голямото число със стойност, която действително съществува в света. Можем да започнем с настоящата човешка популация, която в момента е около 6920 милиона. Световният БВП през 2010 г. се оценява на около 61 960 милиарда долара, но и двете числа са незначителни в сравнение с приблизително 100 трилиона клетки, които изграждат човешкото тяло. Разбира се, нито едно от тези числа не може да се сравни с общия брой частици във Вселената, който обикновено се счита за приблизително , и това число е толкова голямо, че нашият език няма дума за него.

Можем да си поиграем малко със системите от мерки, като правим числата все по-големи и по-големи. Така масата на Слънцето в тонове ще бъде по-малка от тази в паундове. Чудесен начин да направите това е да използвате системата от единици на Планк, които са най-малките възможни мерки, за които законите на физиката все още важат. Например възрастта на Вселената по време на Планк е около . Ако се върнем към първата единица време на Планк след това Голям взрив, тогава ще видим, че плътността на Вселената тогава е била . Ставаме все повече и повече, но още не сме стигнали дори до googol.

Най-големият брой с всяко приложение в реалния свят - или в този случай приложение в реалния свят - вероятно е една от последните оценки на броя на вселените в мултивселената. Това число е толкова голямо, че човешкият мозък буквално няма да може да възприеме всички тези различни вселени, тъй като мозъкът е способен само на приблизително конфигурации. Всъщност това число е може би най-голямото число, което има някакъв практически смисъл, освен ако не вземете предвид идеята за мултивселената като цяло. Там обаче все още се крият много по-големи числа. Но за да ги открием, трябва да отидем в царството на чистата математика и няма по-добро място да започнем от простите числа.

Мерсенови прости числа

Част от предизвикателството е да се измисли добра дефиниция на това какво е „значително“ число. Един от начините е да мислим от гледна точка на прости и съставни числа. Просто число, както вероятно си спомняте от училищна математика, е всяко естествено число (забележете, че не е равно на единица), което се дели само на себе си. И така, и са прости числа, и и са съставни числа. Това означава, че всяко съставно число може в крайна сметка да бъде представено чрез своите прости множители. В някои отношения числото е по-важно от, да речем, защото няма начин да го изразим чрез произведението на по-малки числа.

Очевидно можем да отидем малко по-далеч. , например, всъщност е просто , което означава, че в един хипотетичен свят, където познанията ни за числата са ограничени до , математикът все още може да изрази числото . Но следващото число е просто, което означава, че единственият начин да го изразим е директно да знаем за неговото съществуване. Това означава, че най-големите известни прости числа играят важна роля, но, да речем, гугол - който в крайна сметка е просто колекция от числа и , умножени заедно - всъщност не. И тъй като простите числа са основно произволни, няма известен начин да се предвиди, че невероятно голямо число наистина ще бъде просто. И до днес откриването на нови прости числа е трудно начинание.

математици Древна Гърцияе имал концепция за прости числа поне още през 500 г. пр. н. е. и 2000 години по-късно хората все още са знаели кои числа са прости само до около 750. Мислителите по времето на Евклид виждат възможността за опростяване, но до Ренесанса математиците не могат наистина да поставят го на практика. Тези числа са известни като числа на Мерсен, кръстени на френския учен от 17-ти век Марин Мерсен. Идеята е съвсем проста: числото на Мерсен е всяко число от формата . Така, например, и това число е просто, същото важи и за.

Много по-бързо и по-лесно е да се определят простите числа на Мерсен от всеки друг вид прости числа и компютрите са работили усилено, за да ги търсят през последните шест десетилетия. До 1952 г. най-голямото известно просто число беше число - число с цифри. През същата година компютърът изчислява, че числото е просто и това число се състои от цифри, което го прави много по-голямо от гугол.

Оттогава компютрите са на лов и в момента числото на Мерсен е най-голямото просто число, известно на човечеството. Открит през 2008 г., той възлиза на число с почти милиони цифри. Това е най-голямото известно число, което не може да бъде изразено чрез по-малки числа и ако искате помощ при намирането на още по-голямо число на Мерсен, вие (и вашият компютър) винаги можете да се присъедините към търсенето на http://www.mersenne.org /.

Skewes номер

Стенли Скус

Нека отново разгледаме простите числа. Както казах, те се държат фундаментално погрешно, което означава, че няма начин да се предскаже кое ще бъде следващото просто число. Математиците са били принудени да прибегнат до някои доста фантастични измервания, за да измислят някакъв начин да предскажат бъдещи прости числа, дори по някакъв мъгляв начин. Най-успешният от тези опити вероятно е функцията за броене на прости числа, изобретена в края на 18 век от легендарния математик Карл Фридрих Гаус.

Ще те спестя повече сложна математика- по един или друг начин ни предстои много повече - но същността на функцията е следната: за всяко цяло число можем да оценим колко прости числа има по-малко от . Например, ако , функцията предвижда, че трябва да има прости числа, ако трябва да има прости числа, по-малки от , и ако , тогава трябва да има по-малки числа, които са прости.

Подредбата на простите числа наистина е неправилна и е само приблизителна стойност на действителния брой прости числа. Всъщност знаем, че има прости числа, по-малки от , прости числа, по-малки от , и прости числа, по-малки от . Това е отлична оценка, разбира се, но винаги е само оценка... и по-точно оценка отгоре.

Във всички известни случаи до , функцията, която намира броя на простите числа, леко надценява действителния брой на простите числа, по-малки от . Някога математиците смятаха, че това винаги ще бъде така, ad infinitum, и че това със сигурност ще се прилага за някои невъобразимо огромни числа, но през 1914 г. Джон Едензор Литълуд доказа, че за някакво неизвестно, невъобразимо огромно число, тази функция ще започне да произвежда по-малко прости числа и след това ще превключва между горната оценка и най-долната оценка безкраен брой пъти.

Ловът беше за началната точка на състезанията и тогава се появи Стенли Скуес (виж снимката). През 1933 г. той доказва, че горната граница, когато функция, приближаваща броя на простите числа, първо произвежда по-малка стойност, е числото . Трудно е наистина да се разбере дори в най-абстрактния смисъл какво всъщност представлява това число и от тази гледна точка това е най-голямото число, използвано някога в сериозно математическо доказателство. Оттогава математиците са успели да намалят горната граница до сравнително малко число, но първоначалното число остава известно като числото на Skewes.

И така, колко голямо е числото, което превъзхожда дори могъщия googolplex? В Речника на любопитните и интересни числа на Penguin Дейвид Уелс разказва за един начин, по който математикът Харди е успял да концептуализира размера на числото на Skuse:

„Харди смята, че това е „най-голямото число, служело някога за някаква конкретна цел в математиката“ и предполага, че ако се играе игра на шах с всички частици на Вселената като фигури, един ход ще се състои от размяна на две частици и играта ще спре, когато същата позиция се повтори трети път, тогава броят на всички възможни игри ще бъде приблизително равен на броя на Skuse.'

Едно последно нещо, преди да продължим: говорихме за по-малкото от двете числа на Скуес. Има още едно число на Скузе, което математикът открива през 1955 г. Първото число е получено от факта, че така наречената хипотеза на Риман е вярна - това е особено трудна хипотеза в математиката, която остава недоказана, много полезна, когато става въпрос за прости числа. Въпреки това, ако хипотезата на Риман е невярна, Skuse установи, че началната точка на скоковете се увеличава до .

Проблем с величината

Преди да стигнем до числото, което кара дори числото на Скуес да изглежда малко, трябва да поговорим малко за мащаба, защото в противен случай няма как да преценим накъде ще стигнем. Първо нека вземем едно число - това е малко число, толкова малко, че хората всъщност могат интуитивно да разберат какво означава. Има много малко числа, които отговарят на това описание, тъй като числата, по-големи от шест, престават да бъдат отделни числа и стават „няколко“, „много“ и т.н.

Сега да вземем , т.е. . Въпреки че всъщност не можем интуитивно, както направихме с числото, да разберем какво е то, много е лесно да си представим какво е то. Дотук добре. Но какво ще стане, ако се преместим в ? Това е равно на или. Ние сме много далеч от възможността да си представим това количество, както всяко друго много голямо - губим способността да разбираме отделни части някъде около милион. (Наистина е лудост голям бройЩе отнеме известно време, за да преброим до милион от каквото и да било, но факт е, че все още сме в състояние да възприемем това число.)

Въпреки това, въпреки че не можем да си представим, ние поне можем да разберем най-общо какво представляват 7600 милиарда, може би като ги сравним с нещо като БВП на САЩ. Преминахме от интуиция към представяне към просто разбиране, но поне все още имаме известна празнина в нашето разбиране за това какво е число. Това е на път да се промени, когато преместим още едно стъпало нагоре по стълбата.

За да направим това, трябва да преминем към обозначение, въведено от Доналд Кнут, известно като обозначение със стрелка. Тази нотация може да бъде записана като . Когато след това отидем на , числото, което получаваме, ще бъде . Това е равно на сбора от тройки. Вече сме далеч и наистина надминали всички останали числа, за които вече говорихме. В края на краищата дори най-големият от тях имаше само три или четири члена в серията индикатори. Например, дори числото на супер-Skuse е „само“ - дори с отчитане на факта, че и основата, и експонентите са много по-големи от , то все още е абсолютно нищо в сравнение с размера на числова кула с милиард членове .

Очевидно е, че няма начин да се разберат такива огромни числа... и все пак процесът, чрез който са създадени, все още може да бъде разбран. Не можахме да разберем реалното количество, което се дава от кула от мощности с милиард триплети, но по същество можем да си представим такава кула с много членове и един наистина приличен суперкомпютър би могъл да съхранява такива кули в паметта, дори ако не можа да изчисли действителните им стойности.

Това става все по-абстрактно, но само ще става по-лошо. Може би си мислите, че кула от градуси, чиято експонентна дължина е равна (наистина, в предишната версия на тази публикация направих точно тази грешка), но е просто. С други думи, представете си, че можете да изчислите точната стойност на мощностна кула от триплети, която е съставена от елементи, и след това сте взели тази стойност и сте създали нова кула с толкова много в нея, колкото... това дава .

Повторете този процес с всяко следващо число ( Забележказапочвайки отдясно), докато го направите пъти, и накрая получавате . Това е число, което е просто невероятно голямо, но поне стъпките, за да го получите, изглеждат разбираеми, ако правите всичко много бавно. Вече не можем да разберем числата или да си представим процедурата, по която се получават, но поне можем да разберем основния алгоритъм, само за достатъчно дълго време.

Сега нека подготвим ума наистина да го взриви.

Числото на Греъм (Graham)

Роналд Греъм

Ето как получавате числото на Греъм, което заема място в Книгата на световните рекорди на Гинес като най-голямото число, използвано някога в математическо доказателство. Абсолютно невъзможно е да си представим колко е голямо и също толкова трудно е да обясним какво точно представлява. По принцип числото на Греъм се появява, когато се работи с хиперкубове, които са теоретични геометрични форми с повече от три измерения. Математикът Роналд Греъм (вижте снимката) искаше да разбере при какъв най-малък брой измерения определени свойства на хиперкуб ще останат стабилни. (Извинете за толкова неясното обяснение, но съм сигурен, че всички трябва да получим поне две академични степенипо математика, за да стане по-точно.)

Във всеки случай, числото на Греъм е горна оценка на този минимален брой измерения. Колко голяма е тази горна граница? Да се ​​върнем към числото, толкова голямо, че можем само бегло да разберем алгоритъма за получаването му. Сега, вместо просто да скочим още едно ниво до , ще преброим числото, което има стрелки между първите и последните три. Вече сме далеч отвъд дори и най-малкото разбиране какво е това число или дори какво трябва да направим, за да го изчислим.

Сега нека повторим този процес веднъж ( Забележкана всяка следваща стъпка пишем броя на стрелките, равно на числотополучени в предишната стъпка).

Това, дами и господа, е числото на Греъм, което е около един порядък по-висок от точката на човешкото разбиране. Това е число, което е много по-голямо от всяко число, което можете да си представите - то е много по-голямо от всяка безкрайност, която някога бихте могли да си представите - то просто не подлежи дори на най-абстрактното описание.

Но ето нещо странно. Тъй като числото на Греъм е просто триплети, умножени заедно, ние знаем някои от неговите свойства, без всъщност да го изчисляваме. Не можем да представим числото на Греъм с позната нотация, дори и да използваме цялата вселена, за да го запишем, но мога да ви кажа последните дванадесет цифри от числото на Греъм точно сега: . И това не е всичко: знаем поне последните цифри от номера на Греъм.

Разбира се, струва си да запомните, че това число е само горна граница в първоначалния проблем на Греъм. Напълно възможно е действителният брой измервания, необходими за постигане на желаното свойство, да е много, много по-малко. Всъщност от 80-те години на миналия век се смята, според повечето експерти в областта, че всъщност има само шест измерения - число, толкова малко, че можем да го разберем интуитивно. Оттогава долната граница е повишена до , но все още има много голям шанс решението на проблема на Греъм да не се намира никъде близо до число, толкова голямо, колкото числото на Греъм.

Към безкрая

Има ли числа, по-големи от числото на Греъм? Има, разбира се, за начало има числото на Греъм. Що се отнася до значителния брой... добре, има някои дяволски сложни области на математиката (особено областта, известна като комбинаторика) и компютърните науки, в които се срещат числа дори по-големи от числото на Греъм. Но ние почти достигнахме границата на това, което мога да се надявам някога да бъде рационално обяснено. За тези, които са достатъчно безразсъдни, за да стигнат дори по-далеч, се препоръчва допълнително четене на ваш собствен риск.

Е, сега един невероятен цитат, който се приписва на Дъглас Рей ( ЗабележкаЧестно казано, звучи доста смешно:

„Виждам групи от неясни числа, които са скрити там в тъмнината, зад малкото светлинно петно, което дава свещта на разума. Те шепнат помежду си; заговор за кой знае какво. Може би не ни харесват много, защото улавяме техните малки братя в умовете ни. Или може би те просто водят едноцифрен живот, някъде извън нашето разбиране.