Нека два права L и M на равнината в декартовата координатна система са определени от общи уравнения: L: A 1 X + B 1 Y + C 1 \u003d 0, m: A 2 X + B 2 Y + C2 \u003d 0

Нормални вектори към данни Директен: \u003d (a 1, b 1) - до права линия l,

\u003d (A 2, b 2) - до права линия m.

Нека j бъде ъгъл между прави l и m.

Тъй като ъглите с взаимно перпендикулярни страни са равни, или в количеството p, тогава , т.е. cos j \u003d.

Така че, доказахме следната теорема.

Теорема. Нека j бъде ъгъл между две право на самолета и остави тези директни комплекти в декартова координатна система с общи уравнения 1 x + b 1 y + c 1 \u003d 0 и 2 x + b 2 y + c2 \u003d 0. Тогава cos j \u003d. .

Упражнения.

1) Изведете формулата за изчисляване на ъгъла между право, ако:

(1) и двете линии са параметрично определени; (2) и двете директно се определят от канонични уравнения; (3) едно директно се определя параметрично, а другото е общо уравнение; (4) И двете права линии се дават с уравнение на ъглово коефициент.

2) Нека j бъде ъгъл между две право на самолета и нека тези директни комплекти се задават от картозърската координатна система чрез уравненията y \u003d k 1 x + b 1 и y \u003d k 2 x + b 2.

Тогава tg j \u003d.

3) Разгледайте взаимното подреждане на две директно определени от общите уравнения в картозърската координатна система и попълнете таблицата:

Разстояние от точка до директно насочване на равнината.

Да предположим, че в самолета в декартовата координатна система, права линия L се определя от цялостното уравнение AX + B \u003d 0. Ще намерим разстоянието от точка m (x 0, y 0) до права линия L.

Разстоянието от точка m до права линия l е дължината на перпендикулярната HM (h μl, hm ^ l).

Вектор и вектор на нормален за директен l colinear, така | | \u003d | | | | и | | \u003d.

Нека координатите на точката h (x, y).

Тъй като точка Н е собственост на права линия L, след това AX + by + c \u003d 0 (*).

Координатите на векторите и: \u003d (x 0 - x, y 0 - y), \u003d (a, b).

| | = = =

(C \u003d -АК - по, вижте (*))

Теорема. Нека изпратеният л да бъде даден в картозърската координатна система с общото уравнение AX + с + С \u003d 0. След това разстоянието от точка m (x 0, y 0) към това директно се изчислява по формулата: R (m; Л) \u003d .

Упражнения.

1) Изход към формулата за изчисляване на разстоянието от точката до права, ако: (1) е посочен директен параметър; (2) директни канонични уравнения; (3) Директното се определя от уравнението с ъглов коефициент.

2) Напишете уравнението на кръга, свързан с права линия 3x - Y \u003d 0, с центъра в точката Q (-2.4).

3) Напишете уравненията на директни разделителни ъгли, образувани от пресичането на Direct 2x + Y - 1 \u003d 0 и X + Y + 1 \u003d 0, наполовина.

§ 27. Аналитична задача на равнина в пространството

Дефиниция. Вектор нормален до самолет Ние ще наричаме ненулев вектор, всеки представител е перпендикулярно на този самолет.

Коментар. Ясно е, че ако поне един векторният представител е перпендикулярно на равнината, тогава всички други представители на вектора са перпендикулярни на тази равнина.

Нека координатната система на кариеца, поставена в пространството.

Да се \u200b\u200bдаде равнина А, \u003d (А, В, С) - векторът на нормалното до тази равнина, точка m (x 0, y 0, z 0) принадлежи към равнината a.

За всяка точка n (x, y, z) на равнината на вектори и ортогонални, т.е. техният скаларен продукт е нула: \u003d 0. Ние пишем последното равенство в координатите: a (x - x 0) + b ( Y - Y 0) + C (Z - Z 0) \u003d 0.

Lethex 0 - BY 0 - CZ 0 \u003d D, след това AX + BY + CZ + D \u003d 0.

Вземете точката до (x, y) такава, че Ax + by + cz + d \u003d 0. Тъй като d \u003d -AX 0 - с 0 - cz 0, тогава A (x - x 0) + b (y - y 0) + с (z - z 0) \u003d 0. Тъй като координатите на посочения сегмент \u003d (x - x 0, y - y 0, z - z 0), тогава последното равенство означава, че ^, и следователно k î a.

Така че, доказахме следната теорема:

Теорема. Всяка равнина в пространството в декартовата координатна система може да бъде настроена чрез уравнението на AX + с + CZ + D \u003d 0 (2 + В2 + С2 ° 0), където (А, В, С) - координатите на вектора на нормалното до тази равнина.

Вярно и обратно.

Теорема. Всяко уравнение на AX + чрез + CZ + D \u003d 0 (2 + В2 + С2 ≠ 0) в декартайска координатна система, координата разполага с някаква равнина, докато (A, B, C) - координатите на вектора нормално към този самолет.

Доказателства.

Вземете точката m (x 0, y 0, z 0) такава, че Ax 0 + с 0 + cz 0 + d \u003d 0 и вектор \u003d (a, b, c) (q).

През точката m перпендикулярно на вектора преминава самолета (и само един). Съгласно предишната теорема, тази равнина е определена от AX + с + CZ + D \u003d 0 уравнение.

Определение. Уравнение на формата AX + чрез + CZ + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C2 ≠ 0) се нарича общото уравнение на равнината.

Пример.

Пишаме уравнението на равнината, преминаваща през точки m (0,2,4), n (1, -1,0) и k (-1,0,5).

1. Ще намерим координатите на нормалния вектор към равнината (MNK). Тъй като векторният продукт е ортогонално не колленеар вектори и след това вектор колинеар.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

'\u003d (-11, 3, -5).

Така че, като вектор на нормалното, ние приемаме вектора \u003d (-11, 3, -5).

2. Сега ще използваме резултатите от първата теорема:

уравнението на тази равнина (X - X 0) + B (Y - Y 0) + С (Z - Z 0) \u003d 0, където (А, В, С) - координатите на вектора Нормален, (x 0 , Y 0, z 0) - координати на точката на равнината, разположена в равнината (например точки m).

11 (x - 0) + 3 (Y - 2) - 5 (Z - 4) \u003d 0

11x + 3Y - 5Z + 14 \u003d 0

Отговор: -11x + 3Y - 5Z + 14 \u003d 0.

Упражнения.

1) Напишете уравнението на самолета, ако

(1) равнината преминава през точка m (-2.3.0), успоредна на равнината 3x + Y + Z \u003d 0;

(2) равнината съдържа ос (вол) и перпендикулярно на X + 2Y равнината - 5Z + 7 \u003d 0.

2) Напишете уравнението на равнината, преминаваща през данните от трите точки.

§ 28. Аналитична задача на Half-Space *

Коментар *. Нека някой самолет фиксира. Под полуспендиранеще разберем набора от точки, лежащи от едната страна на този самолет, т.е. две точки лежат в едно полу-пространство, ако сегментът, свързващ ги, не пресича този самолет. Тази равнина се нарича границата на това полу-пространство. Комбинирането на този самолет и полу-пространството ще се нарича затворено полу-пространство.

Нека координатната система на кариеца да бъде фиксирана в пространството.

Теорема. Нека самолетът А се зададе от общото уравнение AX + BY + CZ + D \u003d 0. След това една от двете полупространства, към които пространството се разделя, пространството е дадено от неравенството на AX + с + CZ + D\u003e 0 и второто полу-пространство се дава от AX + от + неравенство CZ + D.< 0.

Доказателства.

Ще отложа вектора на нормален \u003d (a, b, c) към равнината А на точката m (x 0, y 0, z 0), лежаща на тази равнина: \u003d, m î, mn ^ a. Самолетът разделя пространството на две полуградски: B 1 и B 2. Ясно е, че точката n принадлежи към една от тези полу-пространства. Без ограничение на общността ще приемем, че n î b 1.

Доказваме, че полупространството B 1 е дадено от неравенството на AX + с + CZ + D\u003e 0.

1) Вземете точката k (x, y, z) в полу-пространството B 1. Ъгълът на ð nmk е ъгълът между векторите и - остър, така че скаларният продукт на тези вектори е положителен:\u003e 0. Ние пишем това неравенство в координатите: a (x - x 0) + b (Y - Y 0) ) + C (Z - Z 0)\u003e 0, т.е., Ax + от + CY - AX 0 - с 0 - C Z 0\u003e 0.

Тъй като m î 1, след това, акси 0 + с 0 + c z 0 + d \u003d 0, така-лакс 0 - с 0 - c z 0 \u003d D. Следователно последното неравенство може да бъде написано като: AX + от + cz + D\u003e 0.

2) Вземете точката L (x, y) такава, че Ax + от + CZ + D\u003e 0.

Пренаписване на неравенството, подмяна на D ON (-AX 0 - с 0 - C Z 0) (тъй като m î 1, след това AX 0 + с 0 + С Z 0 + d \u003d 0): a (x - x 0) + b (Y - Y 0) + C (Z - Z 0)\u003e 0.

Векторът с координати (X - X 0, Y - Y 0, Z - Z 0) е вектор, така че експресията А (х - Х 0) + В (Y - Y 0) + С (Z - Z 0) може да се разбира като скаларен продукт на вектори и. Тъй като скаларният продукт на вектори и положително, ъгълът между тях е остър и точка L 1.

По същия начин може да се докаже, че полу-пространството B 2 е дадено от неравенството на AX + от + CZ + D< 0.

Коментари.

1) Ясно е, че доказателството за горното не зависи от избора на точка m в равнината a.

2) Ясно е, че същото полу-пространство може да бъде определено от различни неравенства.

Вярно и обратно.

Теорема. Всяко линейно неравенство на Ax + с + CZ + D\u003e 0 (или AX + с + CZ + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Доказателства.

Уравнение AX + BY + CZ + D \u003d 0 (2 + В2 + С2 ≠ 0) В пространството задава някои равнина а (виж § ...). Както е доказано в предишната теорема, една от двете полу-пространства, към която самолетът разделя пространството, е поставен в неравенството, брадва + от + cz + d\u003e 0.

Коментари.

1) Ясно е, че затвореното полу-пространство може да бъде настроено чрез не-строго линейно неравенство, а всяко не-строго линейно неравенство в декартовата координатна система поставя затворено полу-пространство.

2) Всеки изпъкнал полихед може да бъде зададен като пресечка на затворени полу-интервали (границите на които са самолети, съдържащи ръбовете на полихедрона), т.е. аналитично, системата на линейно не-стратегическото неравенство.

Упражнения.

1) Докажете двете теореми, представени за арбитражна координатна система.

2) Вярно ли е, че всяка система на не-стратегически линейни неравенства се определя от изпъкнал многоъгълник?

Упражнението.

1) Разгледайте взаимното подреждане на две равнини, дадени от общите уравнения в картозърската координатна система и попълнете таблицата.

Дефиниция

Геометричната форма, състояща се от всички точки на равнината, сключена между двете лъчи от една точка, се нарича плосък ъгъл.

Дефиниция

Ъгъл между двекръстосване прав Платът на най-малкия равнинен ъгъл при преминаване на преките данни се нарича. Ако два права паралела, ъгълът между тях се приема равен на нула.

Мащабът на ъгъла между две пресичащи се прави (ако самолетите ъгли в радиани) могат да приемат стойности от нула до $ dfrac (pi) (2) $.

Дефиниция

Ъгъл между две кръстосани страни Тя се нарича стойност, равна на ъгъла между две пресичащи се, паралелно преминаване. Ъгълът между Direct $ A $ и $ B $ е обозначен с ъгъл (A, B) $.

Коректността на определението за определението следва от следната теорема.

Теорема на плоски ъгли с паралелни страни

Стойностите на два изпъкнали плоски ъгли със съответно паралелни и еднакво насочени партии са равни.

Доказателства

Ако ъглите са разположени, тогава те са равни на $ pi $. Ако те не се разгръщат, ние ще отложим на съответните страни на ъглите на ъгъла AOB $ и $ angle A_1O_1B_1 Равни сегменти $ on \u003d O_1ON_1 $ и $ OM \u003d O_1M_1 $.

Четирият $ $ O_1N_1NO $ е паралелограма, тъй като противоположните си страни от $ на $ и $ O_1N_1 $ са равни и успоредни. По същия начин, четири-trigge $ o_1m_1mo $ е паралелограма. Оттук и $ nn_1 \u003d oo_1 \u003d mm_1 $ и $ nn_1 паралелно oo_1 паралелно mm_1 $, следователно $ nn_1 \u003d mm_1 $ и $ nn_1 паралелно mm_1 $ в транзитивност. Четириците $ n_1m_1mn $ - паралелограми, тъй като противоположните им страни са равни и успоредни. Така че, сегментите от $ nm $ и $ n_1m_1 $ са равни. Триъгълниците $ на $ и $ O_1N_1M_1 $ са равни на третия знак за равенството на триъгълниците, това означава, че съответните ъгли на $ angle nom $ и $ angle n_1o_1m_1 $ са равни.

но. Нека два права директно директно, както е показана в глава 1, образуват различни положителни и отрицателни ъгли, които могат да бъдат остър и глупав. Познаването на един от тези ъгли лесно ще намерим друг.

Между другото, всички тези ъгли имат цифрова стойност на допирателната, същата, разликата може да бъде само в знака

Уравнения директно. Броят на проекцията на водещите вектори на първия и втория пореден ъгъл между тези вектори е равен на един от ъглите, образувани от правите линии. Следователно задачата се свежда до определението за ъгъла между вектори, ние получаваме

За простота, тя може да бъде договорена под ъгъл между две директни, за да се разбере остър положителен ъгъл (като например на фиг. 53).

Тогава допирателната на този ъгъл винаги ще бъде положителна. Така, ако знак минус е минус от дясната страна на формула (1), тогава трябва да го изхвърлим, т.е. да поддържаме само абсолютна стойност.

Пример. Определете ъгъла между правото

С формула (1) имаме

от. Ако е посочено, коя от страната на ъгъла е нейното начало и, което завършва, след това преброява посоката на ъгъла срещу стрелката по часовниковата стрелка, ние можем да формула (1) за извличане на нещо повече. Тъй като е лесно да се уверите в фиг. 53 Знак, получен в дясната страна на формулата (1), ще покаже кой е остър или глупав - ъгълът е вторият направо от първия.

(Наистина, от Фиг, 53, виждаме, че ъгълът между първия и втория водещ вектори или е равен на желания ъгъл между прав или се различава от него с ± 180 °.)

д. Ако директните са успоредни, тогава паралелни и техните водещи вектори, прилагане на състоянието на паралелизма на два вектора ще получим!

Това е състояние, необходимо и достатъчно за паралелизъм на две прави линии.

Пример. Прав

паралелно, защото

д. Ако директното е перпендикулярно на техните водещи вектори също са перпендикулярни. Прилагане на състоянието на перпендикулярност на двата вектора, ние получаваме условието за перпендикулярността на двете преки имена, а именно

Пример. Прав

перпендикулярно поради факта, че

Поради условията на паралелизма и перпендикулярност ще решаваме следните две задачи.

е. Чрез точката прекарват права линия паралелно

Решението се извършва така. Тъй като желаното директно е успоредно на това, тогава за неговия водещ вектор можете да вземете същото като това директно, т.е. вектора с прогнози А и V. и тогава уравнението на мястото е написано във формуляра (§ 1)

Пример. Уравнението е директно преминаване през точка (1; 3) паралелно директно

ще има следното!

g. Чрез точката прекарва директно перпендикулярно на това директно

Тук водещият вектор вече не е подходящ за вектора с прогнози А и и векторът трябва да се направи, перпендикулярно на него. Прогнозите на този вектор трябва да бъдат избрани следователно, в зависимост от състоянието на перпендикулярността на двата вектора, т.е. в зависимост от състоянието

Можете да извършите това състояние по безброй набор от начини, тъй като това е едно уравнение с две неизвестни тук, но най-лесният начин да се върнете, тогава уравнението е желаната права линия във формата

Пример. Уравнението е директно преминаване през точката (-7; 2) в перпендикулярно директно

ще има следното (според втората формула)!

h. В този случай, когато правите линии са определени от уравненията на виждането

пренаписване на тези уравнения, в противен случай имаме

Задача 1.

Намерете косинус ъгъл между Direct $ RAC (X + 3) (5) \u003d FRAC (Y-2) (- 3) \u003d FRAC (Z-1) (4) $ и $ \\ t array) (c) (x \u003d 2 cdot t-3) (y \u003d -t + 1) \\ t (z \u003d 3 cdot t + 5) край (масив) отдясно. $.

Нека две прави линии са дадени в пространството: $ \\ t (x-x_ (1)) (m_ (1)) \u003d frac (y-y_ (1)) (n_ (1)) \u003d \\ t Z_ (1)) (p_ (1)) $ и $ \\ t (x - x_ (2)) (m_ (2)) \u003d frac (y-y_ (2)) (n_ (2)) \u003d frac \\ t (Z- z_ (2)) (p_ (2)) $. Избираме в космоса произволна точка и прекарваме две спомагателни права през нея успоредно на данните. Ъгълът между тези директни е всеки от два съседни ъгли, образувани от спомагателни права. Косинусът на един от ъглите между прав може да бъде намерен в зависимост от добре познатата формула $ da \u003d frac (m_ (1) cdot m_ (2) + n_ (1) cdot n_ (2) \\ t + P_ (1) cdot p_ (2)) (sqrt (m_ (1) ^ (2) + n_ (1) ^ (2) + p_ (1) ^ (2)) cdot sqrt (M_) \\ t 2) ^ (2) + n_ (2) ^ (2) + p_ (2) ^ (2))) $. Ако стойността е $ cos phi\u003e 0 $, тогава остър ъгъл между права, ако $ cous phi

Канонични уравнения на първия директно: $ \\ t (x + 3) (5) \u003d frac (Y-2) (- 3) \u003d frac (z - 1) (4) $.

Каноничните уравнения на второто право могат да бъдат получени от параметрични:

\ \ \

По този начин, каноничните уравнения на това директно: $ \\ t (x + 3) (2) \u003d frac (Y-1) (- 1) \u003d frac (z-5) (3) $.

Изчисли:

[CAS DHI \u003d FRAC (5 cdot 2+ ляв (-3 дясно) cdot лява (-1 дясно) +4 ccot 3) (sqrt (5 ^ (2) + \\ t Наляво (-3 дясно) ^ (2) + 4 ^ (2)) cdot sqrt (2 ^ (2) + ляво (-1 вдясно) ^ (2) + 3 ^ (2)) \u003d FRAC (25) (SQRT (50) CDOT SQRT (14)) прибл 0,9449

Задача 2.

Първият директен преминава през посочените точки от ляво (2, -4, -1 вдясно) $ и $ b, ляво (-3,5,6 дясно) $, второто директно - чрез посочените точки $ C лява (1, -2.8 дясно) $ и $ d остави (6.7, -2 дясно) $. Намерете разстоянието между тези права.

Нека някои пряко перпендикулярни на $ ab $ и $ cd $ и ги пресичат в точки $ m $ и $ n $, съответно. При тези условия дължината на $ mn $ сегмента е равна на разстоянието между Direct $ ab $ и $ cd $.

Изграждане на VECTOR VECTOR (AB) $:

[Overline (ab) \u003d ляво (-3-2 дясно) ccot (i) + ляво (5-, ляво (-4 дясно) вдясно) ccot bar (j) + Наляво (6-19 дясно) дясно) ccot bar (k) \u003d - 5 cdot bar (i) +9 cdot bar (j) +7 cdot bar (k ). \\ T

Нека сегментът, изобразяващ разстоянието между прав, преминава през точката $ m, ляво (x_ (m), y_ (m), z_ (m) вдясно) $ direct $ ab $.

Изградете вектора $ 4 $: $:

[Am) \u003d ляво (x_ (m) -2 дясно) ccot bar (i) + ляво (y_ (m) - ляво (-4 дясно) вдясно) cdot \\ t Bar (j) + left (z_ (m) - ляво) ccot bar (k) \u003d] [\u003d] ляво (x_ (m) -2 дясно) ccot bar (i) + \\ t Наляво (y_ (m) +4 дясно) ccot bar (j) + left (z_ (m) +1 вдясно) ccot bar (k). \\ T

Векторите $ \\ t

Известно е, че ако Vectors $ 4] (A) \u003d x_ (1) cdot outline (i) + y_ (1) cdot reimline (j) + z_ (1) cdot Образование (k) $ и $ 4) \u003d x_ (2) cdot revine (i) + y_ (2) cdot revline (j) + z_ (2) cdot Изтриване (k) $ colinear, след това техните координати са пропорционални , след това има $ RAC (x _ ((it 2)) (((IT x) _ ((1))) \u003d frac (y _ ((IT 2))) ((\\ t Y) _ ((1))) \u003d frac (z _ (IT 2))) ((y z) _ ((1))) $.

$ Frac (x_ (m) -2) (- 5) \u003d frac (Y_ (m) +4) (9) \u003d frac (z_ (m) +1) (7) \u003d m $, където $ m $ - резултатът от разделението.

От тук получаваме: $ x_ (m) -2 \u003d -5 cdot m $; $ y_ (m) + 4 \u003d 9 cdot m $; $ z_ (m) + 1 \u003d 7 cdot m $.

Накрая получаваме изрази за координатите на $ m $ точка:

Изграждане на вектор $ Извършете (CD) $:

[Overline (CD) \u003d ляво (6-1 дясно) ccot bar (i) + лява (7- \\ t, лява (-2 дясно) вдясно) ccot bar (j) + \\ t Наляво (-2-8 дясно) ccot bar (k) \u003d 5 ccot bar (i) +9 ccot bar (j) -10 cdot bar (k). \\ T

Нека сегментът, изобразяващ разстоянието между прав, преминава през точката $ n, ляво (x_ (n), y_ (n), z_ (n) вдясно) $ direct $ cd $.

Изградете Vector $ revine (CN) $:

[Overline (CN) \u003d ляво (x_ (n) -1 дясно) ccot bar (i) + ляво (y_ (n) - ляво (-2 дясно) вдясно) cdot \\ t Bar (j) + лява (z_ (n) -8 дясно) ccot bar (k) \u003d] [\u003d] ляво (x_ (n) -1 дясно) ccot bar (I) + ляво (y_ (n) +2 дясно) ccot bar (j) + лява (z_ (n) -8 дясно) ccot bar (k). \\ T

Vectors $ revline (cd) $ и $ 4 coline (cn) $ съвпадат, следователно те са колинеарни. Приложете състоянието на векторите на колориза:

$ Frac (x_ (n) -1) (5) \u003d frac (y_ (n) +2) (9) \u003d frac (z_ (n) -8) (- 10) \u003d n $, където $ n $ - резултатът от разделението.

От тук получаваме: $ x_ (n) -1 \u003d 5 cdot n $; $ y_ (n) + 2 \u003d 9 cdot n $; $ z_ (n) -8 \u003d -10 cdot n $.

Накрая получаваме изрази за координатите на точката $ n $:

Изградете вектор $ 4: $:

[Изцяло (mn) \u003d ляво (x_ (n) -x_ (m) вдясно) ccot bar (i) + left (y_ (n) -yy_ (m) вдясно) ccot \\ t й) + наляво (z_ (n) -z_ (m) вдясно) ccot bar (k). \\ T

Заместваме изразите за координатите на точки $ m $ и $ n $:

[Оцветете (mn) \u003d ляво (1 + 5 ccot n- ъглов (2-5 cdot m дясно) дясно) ccot bar (i) +] \\ t 2 + 9 cdot n- \\ t наляво (-4 + 9 cdot m дясно) дясно) ccot bar (j) + left (8-10 cdot n- \\ t наляво (-1 + 7 cdot) \\ t M дясно) вдясно) ccot bar (k). \\ T

След извършване на действия, получаваме:

[Outline (mn) \u003d лява (-1 + 5 cdot n + 5 cdot m вдясно) ccot bar (i) + лява (2 + 9 cdot n-9 cdot m \\ t ) Ccot bar (j) + ляво (9-10 cdot n-7 cdot m вдясно) ccot bar (k). \\ T

Тъй като Direct $ ab $ и $ mn $ е перпендикулярно, след това скаларният продукт на съответните вектори е нула, т.е. $ \\ t (mn) \u003d 0 $:

[- 5 cdot лява (-1 + 5 cdot n + 5 cdot m вдясно) +9 ccot лява (2 + 9 cdot n-9 cdot m вдясно) +7 ccot \\ t Вляво (9-10 cdot n-7 cdot m вдясно) \u003d 0; \\ t

След извършване на действия получаваме първото уравнение, за да определим $ m $ и $ n $: $ 155 cdot m + 14 cdot n \u003d $ 86.

Тъй като direct $ cd $ и $ mn $ е перпендикулярно, след това скаларният продукт на съответните вектори е нула, т.е. $ \\ tизвежда (cd) cdot Overline (mn) \u003d 0 $:

[- 5 + 25 cdot n + 25 cdot m + 18 + 81 cdot n-81 cdot m-90 + 100 cdot n + 70 cdot m \u003d 0.] \\ t

След извършване на действия получаваме второто уравнение, за да определим $ m $ и $ n $: $ 14 cdot m + 206 cdot n \u003d $ 77.

Откриваме $ m $ и $ n $, решават системата на уравнения $ лява (начална (масива) (c) (155 cdot m + 14 cdot n \u003d 86) \\ t (14 cdot m + 206 \\ t Cdot n \u003d 77) край (масив) право. $.

Използваме метода на краката:

[Delta \u003d ляво | начало (масив) (CC) (155) & (14) & (14) & (206) край (масив) дясно | \u003d 31734; [Delta _ (m) \u003d ляво »(array) (cc) (86) & (14) \\ t (14) \\ t (14) \\ t (14) \\ t \u003d 16638; [Delta _ (n) \u003d ляво | начало (array) (cc) (155) & (86) \\ t (14) & (77) край (масив) отдясно | \u003d 10731; \\ t ]

Ние откриваме координатите на точки $ m $ и $ n $:

\ \

Накрая:

Накрая напишете Vector $ revinline (mn) $:

$ Umerline (mn) \u003d лява (2,691- оставена (-0,6215 дясно) вдясно) ccot bar (i) + лява (1,0438-0,787 дясно) ccot \\ t ) + left (4,618-2,6701 дясно) ccot bar (k) $ или $ reimine (mn) \u003d 3,3125 cdot bar (i) +0,3251 cdot bar (j) \\ t +1,9479 cdot bar (k) $.

Разстоянието между Direct $ ab $ и $ cd $ е дължината на $ \\ t (mn) $: $ d \u003d sqrt (3,3125 ^ (2) + 0.3251 ^ (2) + 1,9479 ^ (2 )) При около $ 3,8565 лин. единици.

Всеки ученик, който се подготвя за изпита по математика, ще ви помогне да повторите темата "намиране на ъгъла между направо." Тъй като статистиката показва, когато сертификационният тест се придаде, задачата според този раздел на стереометрията причинява трудности при голям брой ученици. В същото време, задачите, изискващи ъгъла между директните, се намират в изпита като основно и профилно ниво. Това означава, че всеки трябва да реши.

Акценти

В пространството има 4 вида взаимно местоположение на директно. Те могат да съвпадат, пресичат, да бъдат успоредни или пресичащи. Ъгълът между тях може да бъде остър или прав.

Да се \u200b\u200bнамери ъгълът между директно в употребата или, например в решаването, учениците на Москва и други градове могат да използват няколко начина за решаване на проблеми в този раздел на стереометрията. Можете да изпълнявате задачата от класически сгради. За това си струва да научите основните аксиоми и теоремите на стереометрията. Учителката трябва да може логично да изгражда разсъждение и да създаде чертежи, за да донесе задачата на планината задача.

Можете също да използвате метод за координация на вектор, прилагане на прости формули, правила и алгоритми. Основното нещо в този случай е правилно да се изпълнят всички изчисления. Половината си умения за решаване на проблеми на стереометрията и други участъци от училищната смелост ще ви помогнат за образователния проект "Школково".