Производная ФКП. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Дифференцирование функций комплексного переменного Условие коши римана для функции комплексного переменного
Рассмотрим некоторую комплексную величину $w$, которая задается выражением $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, где $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ - действительные функции вещественного переменного, $z=x+yi$.
Данная величина является комплексной функцией вещественного переменного.
Определение 1
Функция $w(z)$ называется аналитической в некоторой точке z, если данная функция дифференцируема в некоторой окрестности данной точки z.
Определение 2
Функция называется аналитической в некоторой области D, если она является аналитической в каждой точке данной области.
Пусть функции $u(x),\, \, \, v(x)$ являются дифференцируемыми.
Определение 3
Выражение $w_{x} "=u"_{x} (x,y)+i\cdot v"_{x} (x,y)$ называется производной комплексной функции действительного переменного по действительному аргументу$x$.
Аналогично определяется производная по действительному аргументу$y$.
Для вычисления производной воспользуемся следующей формулами:
\ \
1) Для функции $w=(3x+2)+(x^{3} +2y)\cdot i$ получаем:
\ \
2) Для функции $w=(x+e^{y})+(3y^{2} +\ln x)\cdot i$ получаем:
\ \
Для того чтобы некоторая функция $w(z)$ являлась дифференцируемой в некоторой точке $z_{0} =x_{0} +y_{0} \cdot i$, необходимо и достаточно, чтобы $u(x,y)$ и $v(x,y)$ являлись дифференцируемыми в точке $(x_{0} ;y_{0})$ и выполнялись следующие условия:
\[\begin{array}{l} {\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} =\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} } \\ {\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} =-\frac{\partial v(x,y)}{\partial x} } \end{array}.\]
Данные условия называются условиями Коши-Римана.
Примечание 1
Условия Коши-Римана являются соотношениями, которые связывают вещественную и мнимую части дифференцируемой функции $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, где $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ - действительные функции вещественного переменного, $z=x+yi$.
Выделим действительную и мнимую части функции. Положим $z=x+yi$ и получим:
Следовательно, $u(x,y)=e^{1+2y} \cdot \cos (-2x);\, \, \, \, v(x,y)=e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)$ - искомые действительная и мнимая части функции.
Воспользуемся условиями Коши-Римана: $\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial v}{\partial y} ;\frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{\partial v}{\partial x} $.
\[\begin{array}{l} {\frac{\partial u}{\partial x} =2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x);\frac{\partial v}{\partial y} =2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)} \\ {2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)=2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)} \end{array}\] \[\begin{array}{l} {\frac{\partial u}{\partial y} =2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x);\frac{\partial v}{\partial x} =-2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x)} \\ {2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x)=-(-2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x))} \end{array}\]
Условия Коши-Римана выполняются для любых действительных $x,y$. Следовательно, функция является аналитической для любых действительных $x,y$.
Найдем производную функции и вычислим значение производной функции в заданной точке $z_{0} =\frac{\pi }{6} $.
Производная функции имеет вид:
Вычислим значение производной функции в заданной точке
На практике можно встретить следующие задачи.
Задача 1
По заданной действительной части $u(x,y)$ некоторой функции комплексной переменной $w(z)$ необходимо найти мнимую часть $v(x,y)$ данной функции. Восстановить функцию $w(z)$ по известным действительной и мнимой частям.
Задача 2
По заданной мнимой части $v(x,y)$ некоторой функции комплексной переменной $w(z)$ необходимо найти мнимую часть $u(x,y)$ данной функции. Восстановить функцию $w(z)$ по известным действительной и мнимой частям.
Алгоритм решения задачи 2 будет следующим:
- найти действительную часть с помощью условий Коши-Римана;
- составить функцию $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$;
- выполнить преобразования и выделить переменную $z=x+yi$ или $\overline{z}=x-yi$.
Замечание 1
При решении практических задач могут пригодиться следующие соотношения:
\ \ \
Замечание 2
Операция деления на мнимую единицу $i$ равносильна операции умножения на $-i$.
Пример 3
По действительной части $u(x,y)=-x^{2} +y^{2} -5y$ некоторой функции комплексной переменной восстановить ее мнимую часть $v(x,y)$ и восстановить данную функцию, при этом функция удовлетворяет начальному условию $w(0)=0$.
Найдем мнимую часть $v(x,y)$ искомой функции $w(z)$. Воспользуемся первым условием Коши-Римана:
\[\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} =\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} .\]
Подставим исходные значения и получим:
\[\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} =\frac{\partial (-x^{2} +y^{2} -5y)}{\partial x} =-2x\] \ \
Найдем неизвестную функцию $\phi (x)$.
Воспользуемся вторым условием Коши-Римана:
\[\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} =-\frac{\partial v(x,y)}{\partial x} .\] \ \[\phi "(x)=5\Rightarrow \phi (x)=\int 5dx =5x+C\]
Следовательно,
Мнимая часть искомой функции $w(z)$ восстановлена, тогда можем записать саму функцию:
Преобразуем полученное выражение:
\ \[=-x^{2} +y^{2} -5y+-2xyi+5xi+Ci=(-x^{2} +y^{2} -2xyi)+(-5y+5xi)+Ci=\] \[=-(x^{2} +2xyi-y^{2})+5i\cdot (x-\frac{y}{i})+Ci\] \
Используя начальное условие $w(0)=0$, найдём значение константы $C$.
Следовательно, искомая функция имеет вид:
Мнимая часть функции примет вид.
Функции комплексной переменной.
Дифференцирование функций комплексной переменной.
Данная статья открывает серию уроков, на которых я рассмотрю типовые задачи, связанные с теорией функций комплексной переменной. Для успешного освоения примеров необходимо обладать базовыми знаниями о комплексных числах. В целях закрепления и повторения материала достаточно посетить страницу . Также потребуются навыки нахождения частных производных второго порядка . Вот они какие, эти частные производные… даже сам сейчас немного удивился, насколько часто встречаются…
Тема, которую мы начинаем разбирать, не представляет особых сложностей, и в функциях комплексной переменной, в принципе, всё понятно и доступно. Главное, придерживаться основного правила, которое выведено мной опытным путём. Читайте дальше!
Понятие функции комплексной переменной
Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:
Функция одной переменной –это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.
В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:
Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.
Чем отличается функция комплексной переменной?
Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной , то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительные значения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:
Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
, где и – две функции двух действительных
переменных.
Функция называется действительной частью
функции .
Функция называется мнимой частью
функции .
То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:
Пример 1
Решение:
Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:
(1) В исходную функцию подставили .
(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом – раскрыли скобки.
(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что
(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).
(5) У второй группы выносим за скобки.
В результате наша функция оказалась представлена в виде
Ответ:
– действительная часть функции .
– мнимая часть функции .
Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные . Без пощады – находить будем. Но чуть позже.
Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).
Пример 2
Найти действительную и мнимую часть функции
Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:
БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!
Полное решение и ответ в конце урока.
Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем:
.
Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.
Дифференцирование функций комплексной переменной.
У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной .
Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.
Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:
1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: .
2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана
:
Только в этом случае будет существовать производная!
Пример 3
Решение раскладывается на три последовательных этапа:
1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:
Так как , то:
Таким образом:
– мнимая часть функции .
Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: .
2) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.
Начнем с проверки условия . Находим частные производные
:
Таким образом, условие выполнено.
Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.
Проверяем выполнение второго условия :
Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие также выполнено.
Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.
3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:
Мнимая единица при дифференцировании считается константой.
Ответ:
– действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .
Существуют еще два способа нахождения производной, они, конечно, применяются реже, но информация будет полезна для понимания второго урока – Как найти функцию комплексной переменной?
Производную можно найти по формуле:
В данном случае:
Таким образом
Предстоит решить обратную задачу – в полученном выражении нужно вычленить . Для того, чтобы это сделать, необходимо в слагаемых и вынести за скобку:
Обратное действие, как многие заметили, выполнять несколько труднее, для проверки всегда лучше взять выражение и на черновике либо устно раскрыть обратно скобки, убедившись, что получится именно
Зеркальная формула для нахождения производной:
В данном случае: , поэтому:
Пример 4
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.
Краткое решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.
Всегда ли выполняются условия Коши-Римана? Теоретически они чаще не выполняются, чем выполняются. Но в практических примерах я не припомню случая, чтобы они не выполнялись =) Таким образом, если у вас «не сошлись» частные производные, то с очень большой вероятностью можно сказать, что вы где-то допустили ошибку.
Усложним наши функции:
Пример 5
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить
Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавится новый пунктик: нахождение производной в точке. Для куба нужная формула уже выведена:
Определим действительную и мнимую части данной функции:
Внимание и еще раз внимание!
Так как , то:
Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .
Проверка второго условия:
Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть условие также выполнено.
Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция является дифференцируемой:
Вычислим значение производной в требуемой точке:
Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены,
Функции с кубами встречаются часто, поэтому пример для закрепления:
Пример 6
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить .
Решение и образец чистового оформления в конце урока.
В теории комплексного анализа определены и другие функции комплексного аргумента: экспонента, синус, косинус и т.д. Данные функции обладают необычными и даже причудливыми свойствами – и это действительно интересно! Очень хочется рассказать, но здесь, так уж получилось, не справочник или учебник, а решебник, поэтому я рассмотрю ту же задачу с некоторыми распространенными функциями.
Сначала о так называемых формулах Эйлера :
Для любого действительного
числа справедливы следующие формулы:
Тоже можете переписать в тетрадь в качестве справочного материала.
Строго говоря, формула всего одна, но обычно для удобства пишут и частный случай с минусом в показателе. Параметр не обязан быть одинокой буковкой, в качестве может выступать сложное выражение, функция, важно лишь, чтобы они принимали только действительные значения. Собственно, мы это увидим прямо сейчас:
Пример 7
Найти производную.
Решение: Генеральная линия партии остаётся непоколебимой – необходимо выделить действительную и мнимую части функции. Приведу подробное решение, и ниже закомментирую каждый шаг:
Поскольку , то:
(1) Подставляем вместо «зет».
(2) После подстановки нужно выделить действительную и мнимую часть сначала в показателе экспоненты. Для этого раскрываем скобки.
(3) Группируем мнимую часть показателя, вынося мнимую единицу за скобки.
(4) Используем школьное действие со степенями.
(5) Для множителя используем формулу Эйлера , при этом .
(6) Раскрываем скобки, в результате:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .
Дальнейшие действия стандартны, проверим выполнение условий Коши-Римана:
Пример 9
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Производную, так и быть, находить не станем.
Решение: Алгоритм решения очень похож на предыдущие два примера, но есть очень важные моменты, поэтому начальный этап я опять закомментирую пошагово:
Поскольку , то:
1) Подставляем вместо «зет».
(2) Сначала выделяем действительную и мнимую часть внутри синуса . В этих целях раскрываем скобки.
(3) Используем формулу , при этом .
(4) Используем чётность гиперболического косинуса : и нечётность гиперболического синуса : . Гиперболики, хоть и не от мира сего, но во многом напоминают аналогичные тригонометрические функции.
В итоге:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .
Внимание!
Знак «минус» относится к мнимой части, и его ни в коем случае не теряем! Для наглядной иллюстрации полученный выше результат можно переписать так:
Проверим выполнение условий Коши-Римана:
Условия Коши-Римана выполнены.
Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены.
С косинусом, дамы и господа, разбираемся самостоятельно:
Пример 10
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.
Я специально подобрал примеры посложнее, поскольку с чем-нибудь вроде все справятся, как с очищенным арахисом. Заодно внимание потренируете! Орехокол в конце урока.
Ну и в заключение рассмотрю ещё один интересный пример, когда комплексный аргумент находится в знаменателе. Пару раз в практике встречалось, разберём что-нибудь простое. Эх, старею…
Пример 11
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.
Решение:
Снова необходимо выделить действительную и мнимую часть функции.
Если , то
Возникает вопрос, что же делать, когда «зет» находится в знаменателе?
Всё бесхитростно – поможет стандартный приём умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
, он уже применялся в примерах урока Комплексные числа для чайников
. Вспоминаем школьную формулу . В знаменателе у нас уже есть , значит, сопряженным выражением будет . Таким образом, нужно умножить числитель и знаменатель на :
Пусть функция
=u
(x,y
)+iv
(x,y
)
определена в окрестности точки z
= x
+iy
.
Если переменной z
придать приращение
z
=
x
+i
y
,
то функция
получит приращение
=
(z
+
z
)–
=u
(x
+
x
,
y
+
y
)+
+ iv (x + x , y + y ) - u (x,y ) - iv (x,y ) = [u (x + x , y + y ) –
– u (x,y )] + i [v (x + x , y + y ) - v (x,y )] =
= u (x,y ) + i v (x,y ).
Определение. Если существует предел
=
,
то
этот предел называется производной от
функции
в точкеz
и обозначается через f
(z
)
или
.
Таким образом, по определению,
=
=
.
(1.37)
Если
функция
имеет производную в точкеz
,
то говорят, что функция
дифференцируема в точкеz
.
Очевидно, для дифференцируемости функции
необходимо, чтобы функцииu
(x,y
)
и v
(x,y
)
были дифференцируемы. Однако этого не
достаточно для существования производной
f
(z
).
Например, для функции w
==
x
–iy
функции u
(x,y
)=x
и
v
(x,y
)=–y
дифференцируемы во всех точках M(x,y
),
но предел отношения
при
x
0,
y
0
не существует, так как, если
y
= 0,
x
0, то
w
/
z
= 1,
если же x = 0, y 0, то w /z = -1.
Единого предела не существует. Это означает, что функция
w = не имеет производную ни в одной точке z . Для существования производной от функции комплексного переменного требуются дополнительные условия. Какие именно? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Пусть функции u (x,y ) и v (x,y ) дифферен-цируемы в точке M(x,y ). Тогда для того, чтобы функция
= u (x,y ) + iv (x,y )
имела производную в точке z = x +iy , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
Равенства (1.38) называются условиями Коши-Римана.
Доказательство
.
1) Необходимость. Пусть функция
имеет производную в точке z, то есть
существует предел
=
=
.(1.39)
Предел, стоящий в правой части равенства (1.39) не зависит от того, по какому пути точка z = x +i y стремится
к 0. В частности, если y = 0, x 0 (рис. 1.10), то
Если же x = 0, y 0 (рис. 1.11), то
(1.41)
Рис.1.10 Рис. 1.11
Левые части в равенствах (1.40) и (1.41) равны. Значит равны и правые части
Отсюда следует, что
Таким образом, из предположения о существовании производной f (z ) следует выполнение равенств (1.38), то есть условия Коши-Римана необходимы для существования производной f (z ).
1) Достаточность. Предположим теперь, что равенства (1.38) выполнены:
и
докажем, что в этом случае функция
имеет производную в точкеz
=
x
+iy
,
то есть предел (1.39)
=
существует.
Так как функции u (x,y ) и v (x,y ) дифференцируемы в точке M(x,y ), то полное приращение этих функций в точке M(x,y ) можно представить в виде
,
где 1 0, 2 0, 1 0, 2 0 при x 0, y 0.
Так как, в силу (1.38),
Следовательно,
=
,
1 = 1 +i 1 0, 2 = 2 +i 2 0 при z = x +i y 0.
Таким образом,
Так как z 2 = x 2 +y 2 , то x / z 1, y/ z 1. Поэтому
при z 0.
Отсюда
следует, что правая часть равенства
(1.42) имеет предел при
z
0, следовательно, и левая часть имеет
предел при
z
0, причем этот предел не зависит от того,
по какому пути
z
стремится к 0. Таким образом, доказано,
что если в точке M(x,y
)
выполнены условия (1.38), то функция
имеет производную в точкеz
= x
+iy
,
причем
.
Теорема доказана полностью.
В процессе доказательства теоремы получены две формулы (1.40) и (1.42) для производной от функции комплексного переменного
,
.
С помощью формул (1.38) можно получить еще две формулы
, (1.43)
. (1.44)
Если
функция f
(z
)
имеет производную во всех точках области
D, то говорят, что функция
дифференцируема в области D. Для этого
необходимо и достаточно, чтобы условия
Коши-Римана выполнялись во всех точках
области D.
Пример. Проверить условия Коши-Римана для
функции e z .
Так как e z = e x+iy = e x (cosy + i siny ),
то u (x , y ) = Ree z = e x cosy , v (x , y ) = Ime z = e x siny ,
,
,
,
,
следовательно,
Условия Коши - Римана для функции e z выполнены во всех точках z. Таким образом, функция e z дифференцируема на всей плоскости комплексной переменной, причем
Точно так же доказывается дифференцируемость
функций z n , cos z , sin z , chz , shz , Lnz , и справедливость формул
(z n ) = n z n-1 , (cosz ) = -sinz , (sinz ) = cosz ,
(chz ) = shz , (shz ) = chz , (Lnz ) = 1/z .
Для функций комплексного переменного остаются в силе все правила дифференцирования функций действительного переменного. Доказательство этих правил вытекает из определения производной так же, как и для функций действительного переменного.
Понятие функции комплексной переменной
Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:
Функция одной переменной – это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.
В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:
Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.
Чем отличается функция комплексной переменной?
Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной, то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительныезначения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:
Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной
Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
, где и – две функции двух действительных переменных.
Функция называется действительной частью функции .
Функция называется мнимой частью функции .
То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:
Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:
(1) В исходную функцию подставили .
(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом – раскрыли скобки.
(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что
(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).
(5) У второй группы выносим за скобки.
В результате наша функция оказалась представлена в виде
Ответ:
– действительная часть функции .
– мнимая часть функции .
Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные . Без пощады – находить будем. Но чуть позже.
Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).
Найти действительную и мнимую часть функции
Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:
БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!
Полное решение и ответ в конце урока.
Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем:
.
Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.
Дифференцирование функций комплексной переменной.
Условия Коши-Римана
У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной .
Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.
Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:
1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: .
2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана:
Только в этом случае будет существовать производная!
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.
Решение раскладывается на три последовательных этапа:
1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:
Так как , то:
Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .
Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: .
3) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.
Начнем с проверки условия . Находим частные производные
:
Таким образом, условие выполнено.
Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.
Проверяем выполнение второго условия :
Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие также выполнено.
Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.
3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:
Мнимая единица при дифференцировании считается константой.
Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .
Интеграл ФКП. Теорема Коши.
Формула (52 ) называется интегральной формулой Коши или интегралом Коши. Если в качестве контура в (52 ) выбрать окружность , то, заменяя и учитывая, что - дифференциал длины дуги , интеграл Коши можно представить в виде формулы среднего значения:
Помимо самостоятельного значения интегральной формулы Коши, (52 ), (54 ) фактически дают очень удобный способ вычисления контурных интегралов, которые, как видно, будут выражаться через значение "остатка" подынтегральной функции в точке, где эта функция имеет особенность .
Пример 3-9. Вычислить интеграл от функции по контуру (рис.20 ).
Решение. Точка , в которой функция имеет особенность, в отличие от примера 4-1, находится внутри окружности . Представим интеграл в форме (52 ):
|
|
Формула Коши.
Пусть - область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция - голоморфна в и - точка внутри области . Тогда справедлива следующая формула Коши:
Формула справедлива также, если предполагать, что голоморфна внутри , и непрерывна на замыкании, а также если граница не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.(Голоморфная функция-функция комплексного числа, кусочно-гладкая- функция вещественного числа)
Элементарные ФКП: функция Тейлора, тригонометрические функции, гиперболические функции, обратные тригонометрические функции, логарифмические функции, формула Коши.
Пусть
функция W
=
f
(Z
)
задана на некотором множестве
иZ
0
,
принадлежащая E
,
предельная точка этого множества.
Придадим Z
0
=
x
0
+
i
·
y
0
приращение
ΔZ
=
Δx
+
i
·
Δy
,
чтобы точка
Z
=
Z
0
+
ΔZ
принадлежала множеству Е
.
Тогда функция W
=
u
+
i
·
v
=
f
(Z
)
=
u
(x
,
y
)+
i
·
v
(x
,
y
).
Получим приращение ΔW
=
Δu
+
i
·
Δv
= f
(Z
0
+
ΔZ
)
-
f
(Z
0
)
=
Δf
(Z
0
)
,
.
Если
существует конечный предел
,
то он называетсяпроизводной
функции
f
(Z
)
в точке
Z
0
по множеству
E
,
и обозначается
,
,
,
W
"
.
Формально производная функция комплексного переменного определяется точно так же как и производная функции вещественного переменного, но содержание их различно.
В определении производной функции f (x ) вещественной переменной в точке х 0 , x → х 0 вдоль прямой. В случае функции комплексного переменного f (Z ), Z может стремиться к Z 0 по любому пути плоскости, ведущему в точку Z 0 .
Поэтому требование существования производной функции комплексного переменного очень жестко. Этим и объясняется, что даже простые функции комплексного переменного не имеют производной.
Пример.
Рассмотрим
функцию W
=
=
x
-
i
·
y
.
Покажем, что эта функция не имеет
производной ни в одной точке. Возьмем
любую точку Z
0
=
x
0
+
i
·
y
0
,
придадим ей приращение ΔZ
=
Δx
+
i
·
Δy
,
тогда функция получит приращение
.
Значит
,
,
Будем
вначале рассматривать ΔZ
=
Δx
+
i
·
Δy
такие, что Δx
→ 0
, а Δy
= 0
, т. е. точка
Z
0
+
ΔZ
→
Z
0
по горизонтальной прямой. При этом мы
получим, что
Будем
теперь рассматривать приращение ∆Z
такими, что ∆x
= 0
,
а ∆y
→ 0
,
т.е. когда Z
0
+
∆
Z
→
Z
0
по
вертикальной прямой, при этом очевидно
будет
.
Полученные
пределы
различные, поэтому отношение
не имеет предела при∆
Z
→ 0
,
то есть функция
не имеет производной в любой точкеZ
0
.
Выясним
смысл производной по множеству. Пусть
E
– действительная ось, и W
=
f
(Z
)
=
x
,
тогда это
есть обычная вещественная функция
вещественной переменной f
(x
)
=
x
и ее производная будет равна 1
(
).
Пусть
теперь Е
– это вся плоскость
(Z)
.
Покажем, что функция f
(Z
)
=
x
в этом случае не имеет производной
ни в одной точке. Действительно, в данном
случае
.Отсюда
видно, что если
а
,
то
.
Если же
,
а
,
то
.Следовательно,
отношение
не имеет предела при
,
поэтому функция
f
(Z
)
=
x
не имеет производной ни в одной точке
.
Отметим,
что если рассматривается комплексно-значная
функция вещественной переменной
,
то из определения производной
непосредственно вытекает, что
,
следовательно,(этопроизводная
по вещественной
оси).
Формула для приращения функций.
Пусть
функция W
=
f
(Z
)
имеет в точке Z
0
производную
.
Покажем, что имеет место представление(1), где величина
,
когда
.
Действительно,
по
определению производной имеем
,
следовательно, величина
,
когда
.
Поэтому имеет место представление (1)
(умножим обе части на
и перенесем
в левую часть).
Лекция №8 Дифференцируемость и дифференциал функции комплексного переменного
Функция
W
=
f
(Z
)
называется дифференцируемой
в точке
Z
0
,
если в этой точке имеет место представление
(2),
гдеA
–
фиксированное комплексное число, а
величина
стремится к нулю, когда
.
Если
функция W
=
f
(Z
)
дифференцируема в точке Z
0
,
то главная линейная относительно
ее частьA
·
приращение
в точкеZ
0
называется дифференциалом
функции
f
(Z
)
в точке
и обозначается
.
Имеет место теорема.
Теорема.
Для
того чтобы функция
W
=
f
(Z
)
была дифференцируема в точке
Z
0
,
необходимо и достаточно, чтобы она имела
в этой точке конечную производную
,
при этом всегда оказывается, что в
представлении (2)
.
Доказательство .
Необходимость.
Пусть функция дифференцируема в точке
Z
0
.
Покажем, что она имеет в этой точке
конечную производную, и что эта производная
равна числу А
.
В силу дифференциации f
(Z
)
в точке Z
0
имеет место представление (2), значит
(3). Производя здесь предельный переход
при
получим, что
,
значит
.
Достаточность.
Пусть функция f
(Z
)
имеет в точке Z
0
конечную производную
.
Покажем, что имеет место представление
(2). В силу существования производной
имеет место представление (1), но это и
есть представление (2), в которомA
=
.
Достаточность установлена.
Как
мы знаем, дифференциал
,
принимая в качестве дифференциала
независимой переменнойZ
ее
приращение
,
то есть, полагая
,
мы можем записать
и поэтому
(это отношение дифференциалов, а не
единый символ).