Конспект урока по физике Решение задач "Движение связанных тел" (10 класс). Решение задач по динамике. Движение связанных тел Движение двух связанных тел динамика
Основной задачей динамики при рассмотрении движения связанных тел в разных системах отсчета является объяснение причин, которые определяют характер движения. При этом возникает необходимость понять, при каких условиях системы тел движутся по прямой линии, в каком случае их траекторией является кривая, в результате действия каких причин тела движутся равномерно, ускоренно или замедленно.
При изучении поведения систем связанных тел со скоростями много меньшими скорости света используют классические законы Ньютона:
Если тела не взаимодействуют с другими телами или действие других тел скомпенсировано, то скорость системы не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Система перемещается равномерно и прямолинейно.
Сила ($\overline{F}$), вызывающая ускорение системы тел ($\overline{a}$), в инерциальной системе отсчета пропорциональная массе ($m$) тел, умноженной на его ускорение:
\[\overline{F}=m\overline{a}\left(1\right).\]
Силы взаимодействия тел равны по величине, направлены вдоль одной прямой и имеют противоположные направления.
Если не указано иное, то связи, обычно нити, считают нерастяжимыми и невесомыми. В таком случае при рассмотрении движения связанных тел необходимо помнить, что ускорение движения тел в системе одинаково (результат действия связей). Силу натяжения нитей считают равной по всей длине нити.
В некоторых случаях можно выбирать разные системы координат при рассмотрении движения разных тел системы.
Схема решения типовой задачи при движении связанных тел
- Графически изображаем ситуацию, описанную в задаче. Рисуем чертеж, изображаем силы, скорости движения тел, ускорения. Выбираем и изображаем системы отсчета.
- Записываем основной закон динамики поступательного движения (второй закон Ньютона) в векторной форме, необходимые кинематические уравнения движения, другие необходимые законы и формулы, например, основной закон динамики вращательного движения, формулу силы трения и т.д.
- Проектируем векторные уравнения на оси систем координат.
- Решаем уравнения.
- Проводим необходимые вычисления, предварительно убедившись, что все величины записаны в единой системе единиц.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. На горизонтальной поверхности находится тележка, имеющая массу $M$. К ней привязана невесомая, нерастяжимая нить. Нить перекинута через невесомый блок. Ко второму концу нити прикреплен груз массой $m$ (рис.1). С каким ускорением будет двигаться тележка. Силы трения не учитывать.
Решение. Изобразим силы, которые действуют на тележку и груз на рис.1. и ускорения движения тел системы. Помним, что сил трения нет. Отметим, что ускорения связанных тел (тележки и груза) будут одинаковы, кроме этого силы натяжения нити ($\overline{N}$), действующие на тележку и на груз равны по величине (блок невесомый), но имеют разные направления (рис.1). Запишем второй закон Ньютона для тележки:
\[{\overline{F}}_R+M\overline{g}+\overline{N}=M\overline{a}\left(1.1\right).\]
Основной закон динамики для груза имеет вид:
Систему отсчета свяжем с Землей, запишем проекции уравнения (1.1) на оси координат:
\[\left\{ \begin{array}{c} X:N=Ma \\ Y:Mg=F_R \end{array} \right.\left(1.3\right).\]
В проекциях на эти же оси координат уравнение (1.2) даст одно скалярное уравнение:
\[\left\{ \begin{array}{c} X:mg-N=ma \\ Y:0 \end{array} \right.\left(1.4\right).\]
Из первого уравнения системы (1.3) и уравнения (1.4) имеем:
Выразим из (1.5) искомое ускорение:
Ответ. $a=\frac{m}{M+m}$
Пример 2
Задание. Два груза массами $m_1\ и\ m_2,$ связанные невесомой нитью, скользят по гладкой поверхности. На груз массы $m_1\ $действует с силой F направленной горизонтально (рис.2). Каково ускорение грузов? Какой будет сила натяжения нити, связывающей эти грузы? Силу трения грузов о поверхность не учитывайте. \textit{}
Решение. На рис. 2 изобразим силы, действующие на груз массы $m_1$ (рис.2).
В соответствии со вторым законом Ньютона запишем:
Систему отсчета свяжем с Землей, выберем направления осей координат (рис.2).
Для решения задачи нам потребуется проекция уравнения (2.1) только на ось Y:
В уравнении (2.2) мы имеем две неизвестные величины: сила натяжения нити ($T$) и ускорение тела ($a$). Для нахождения ускорения с которым движется первое тело и вся система из связанных тел, выясним, какие силы действуют на систему, если оба тела считать одним целым. Тогда на систему массой $m_1+m_2$ действует одна сила $\overline{F}$. В этом случае второй закон Ньютона принимает вид:
\[\left(m_1+m_2\right)\overline{a}=\overline{F}+\left(m_1+m_2\right)\overline{g}+\overline{N}\left(2.3\right).\]
В проекции на ось Y формулы (2.3) получим:
\[\left(m_1+m_2\right)a=F\ \left(2.4\right).\]
Из (2.4) ускорение тел равно:
Из (2.2) и (2.5) получим силу натяжения нити равной:
Ответ. $\ 1)a=\frac{F}{m_1+m_2}.$ 2) $T=F\left(1-\frac{m_1}{m_1+m_2}\right)$
При записи уравнений движения связанных тел необходимо иметь в виду, что второй закон Ньютона формулируется для тела (одного) массой m . Следовательно, при описании движения связанных тел уравнение движения должно быть записано для каждого тела в отдельности, а действие тел друг на друга определяется силой реакции опоры, натяжения нити и т. д.
Задача 10. На столе находится небольшой деревянный брусок массой 290 г, к которому привязана нить, перекинутая через невесомый блок, закрепленный на краю стола. Ко второму концу нити привязан груз массой 150 г. С каким ускорением будут двигаться эти тела, если коэффициент трения дерева о стол равен 0,32?
Дано: |
Решение. |
|
На брусок (рис. 10), расположенный на столе, очевидно (см. задачу 8), действуют четыре силы: сила тяжести; сила реакции опоры; сила натяжения нити и сила трения. На груз, подвешенный на нити, перекинутой через блок, очевидно (см. задачу 7), действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. для каждого из этих тел, полагая, что их размерами в данной задаче можно пренебречь:
Координатные оси можно выбрать отдельно для каждого тела, поскольку после взятия проекций в формулах останутся только модули векторов (их длины), которые одинаковы во всех системах координат. Возьмем проекции векторов на координатные оси, добавим формулу для силы трения и получим:
Поскольку движущиеся тела связаны, то за одинаковый промежуток времени они будут проходить одинаковое расстояние. Отсюда следует, что модули ускорений, с которыми движутся эти тела, одинаковы. Силы натяжения нити, приложенные к бруску и к грузу, возникают вследствие взаимодействия этих тел и по модулю равны друг другу (более подробное объяснение равенства модулей этих сил будет приведено при изучении вращательного движения тел).
Решение системы уравнений выполним в следующем порядке: из второго уравнения выразим силу реакции опоры и подставим в третье уравнение, а получившееся при этом выражение для силы трения подставим в первое:
Сложим левые и правые части уравнений системы, при этом в правой части полученного выражения взаимно уничтожится неизвестная сила натяжения нити, а затем выразим ускорение:
;
Ответ
:
тела будут двигаться с ускорением
.
Движение под действием переменных сил
Если силы, действующие на тело, при его движении изменяются с течением времени, то ускорение, с которым движется тело, не будет оставаться постоянным. Это обстоятельство делает невозможным использование формул кинематики равноускоренного движения и требует применения дифференциального и интегрального исчисления при решении задач такого типа.
Задача
11.
Водный мотоцикл массой 160 кг (без водителя)
движется по спокойной воде. После падения
водителя на крутом вираже и автоматической
остановки двигателя скорость мотоцикла
при его дальнейшем движении по прямой
за 4,5 с уменьшилась в 10 раз. Считая силу
сопротивления движению пропорциональной
скорости (
),
найти коэффициент сопротивления
.
Дано: |
|
Движение вод-ного мотоцикла пос-ле остановки двигателя происходит под действием трех сил: силы тяжести, направленной вертикально вниз, силы Архимеда, направленной вверх, и силы сопротивления, направленной против скорости. На основании второго закона Ньютона запишем уравнение движения :
.
Выберем
ось Ox
вдоль направления движения. Тогда для
этой оси уравнение можно переписать
с учетом того, что проекции силы тяжести
и силы Архимеда на горизонтальную ось
равны нулю, а проекция силы сопротивления
:
.
Из уравнения видно, что ускорение, с которым движется водный мотоцикл, не остается постоянным с течением времени, а изменяется вместе с изменением скорости. По определению для ускорения при одномерном движении и произвольном характере зависимости ускорения от времени можно записать:
(именно поэтому в уравнении не взяты проекции скорости и ускорения).
Подставляя формулу в уравнение, получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, в котором неизвестной является функция скорости от времени:
.
Разделим переменные и проинтегрируем обе части уравнения, полагая, что секундомер был включен в момент выключения двигателя:
.
С учетом формулы Ньютона-Лейбница и правил потенцирования, получим:
.
Если необходимо получить зависимость скорости от времени, то следует взять экспоненту от обеих частей выражения и применить к левой части основное логарифмическое тождество. В данной задаче искомую величину выразим непосредственно из формулы:
;
.
Ответ
:
коэффициент сопротивления движению
.
Класс: 10
Цели урока: учащиеся должны
- обобщить и систематизировать знания по данной теме.
- научиться применять их к решению задач повышенной сложности.
Задачи урока:
Образовательные задачи урока:
- Повторить основные законы динамики и кинематики с помощью решения задач.
- Продолжить работу над развитием умений работать с графиками.
- Продолжить работу над развитием умений решать количественные задачи по рассматриваемой теме.
Развивающие задачи:
- Развитие познавательного интереса к предмету посредством обучения учащихся переносить знания в практическую деятельность.
- Развитие умений применять полученные знания в новой ситуации.
- Развитие логического мышления учащихся, самостоятельности мышления.
- Продолжить работу над развитием умений решать физические задач.
Воспитательные задачи:
- Продолжить работу по воспитанию культуры научного труда посредством наблюдения, усвоения научной информации.
- Воспитание целеустремленности к процессам познания.
- Воспитание стремления к преодолению трудностей в процессе интеллектуальной деятельности.
- Аккуратность при оформлении чертежей;
I этап:
Цель: Организация учащихся для работы на уроке. Создание положительного эмоционального настроя на работу. Сообщение цели урока, форм организации их деятельности.
II этап:
Цель: Диагностика знаний учащихся, необходимых для решения задач.
а) Физический диктант.
Тело движется горизонтально под действием силы F = 2H, масса тела 2кг, ч = 0.2.
Уравнение движения тела x = 3+2t-0,5t 2
Зарисуйте все векторы.
Запишите II закон Ньютона в векторной форме.
Выберите оси координат и запишите закон в проекции на оси.
Найдите вес тела.
Найдите силу давления на поверхность.
Запишите уравнение зависимости V x (t).
Найдите силу трения F тр. (2 способа).
Ответы к физическому диктанту:
2) + тр + m + = m
3) F тр -? F = ma N - mg =0
4) P = N = mg P=20H
5) F g = N = 20H
6) V x = 2 - t 2
7) 1. F тр = чN N=mg F тр = чmg F тр =0,2*2кг*10м/с 2 = 4H
2. F тр = ma + F F тр = 1*2H+2H = 4H
После диктанта взаимоконтроль учащихся.
Оценка знаний: Все верно - "5"; 2 ошибки - "4"; 3 верных ответа - "2"
б) Проведем "аукцион" формул.
Учитель: продается лот.
На графике изображена зависимость V x (t) тела на горизонтальном участке. Извлеките максимум информации из него о движении этого тела.
Дано: m = 2кг
Правильный ответ - карточка. Четыре карточки - "5". Два помощника следят за быстротой поднятия рук.
Возможные варианты ответов.
По графику можно определить характер движения на участке
t (0,5) a 1 < 90 а 1 > 0 движение равноускоренное
t (5,10) a 2 > 90 а 2 < 0 движение равнозамедленное
Можно определить величину ускорения тела
а 1 = 2м/с 2 а 2 = -2 м/с 2 |а 1 |= |а 2 |
Определим перемещение на каждом участке S 1 = 25м S 2 = 25м
(двумя способами аналитически и графически)
Определим весь путь, пройденный телом (движение S 2 прямолинейно в одну сторону) S = S 1 + S 2 S=50м.
Определим среднюю скорость на всем пути V ср =S/t V ср = 5 м/с
На 1 участке равнодействующая сил направлена вдоль оси F 1 = 4H
На 2 участке равнодействующая сил направлена против оси F 2 = 4H
Можно записать зависимость V x (t)
Можно найти вес тела P = mg P = 20H
Подведение итогов. Выставление оценок. Поощрение хорошо работающих учеников.
III этап:
Цель: Закрепление и расширение знаний, умений и навыков в решении задач.
Задача №1.
Решает учитель у доски с комментариями учащихся.
Два груза, массы которых m 1 = 0.1кг; m 2 = 0.2кг связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К левому грузу приложена F 2 = 0,5H; к правому F 1 = 3H. Чему равна сила натяжения нити?
Изобразим все векторы сил действующие на тела.
Запишем уравнение II закона в векторной форме для каждого тела.
I тело 1 + 1 + + m 1 = m 1
II тело + 2 + 2 + m 2 = m 2
Каковы значения Т 1 и Т 2 ? Т 1 = Т 2 = Т Если ребята сомневаются, то опыт с резиной. Можно ли определить, кто натянул резину сильнее?
Запишем уравнение в проекциях на координатной оси.
ОХ: F 1 - Т = m 1 a ОХ: Т - F 2 = m 2 a
ОУ 1: N 1 - m 1 g = 0 ОУ2: N 2 - m 2 g = 0
Составляем систему: F 1 - Т = m 1 a
Т - F 2 = m 2 a
F 1 - F 2 = a(m 1 + m 2)
a = в уравнение Т = F 2 +
Дома сделайте вычисления, а так же выясните, изменится ли натяжение нити,если силы поменять местами.
На прошлом уроке я задала интересную задачу. Кто решил? Один из решивших оформляет решение на доске. В это время остальные учащиеся решают на местах задачу из сборника задач под редакцией Рымкевич № 312. С места один комментирует, другой расставляет силы на рисунке на доске.
Задача №2
Обращается внимание, что нити две, соответственно силы натяжения разные T 1 ?T 2
I тело: 1 + m 1 = m 1
II тело: 2 + + тр + 1 + m 2 = m 2
III тело: m 3 + 2 = m 3
0Y 1: T 1 -m 1 g = m 1 a
0X: T 2 - T 1 - F тр = m 2 a m 3 g - T 2 = m 3 a
0Y 2: N - m 2 g = 0 F тр = чN=чm 2 g
Составляем систему:
1) T 1 -m 1 g = m 1 a
2) T 2 - T 1 - чm 2 g = m 2 a
3) m 3 g - T 2 = m 3 a
m 3 g - m 1 g - чm 2 g = a(m 1 +m 2 +m 3)
g(2m-m-чm)=a(m+m+2m)
T 1 =m 1 (a+g) T 2 =m 3 (a+g)
Дома дорешайте в числах и найдите силу давления возникающую в оси левого блока (F g =N) (Силу реакции действующую на ось левого блока)
Задача №3
На гладком столе лежит брусок массой 2кг, на котором лежит тело 1кг. Какую силу нужно приложить к нижнему бруску, чтобы он двигался с а = g/2? Коэффициент трения между брусками 0,5.
IV этап.
Цель: Систематизировать знания с помощью алгоритма решения задач.
В ходе урока мы рассмотрели несколько задач. Давайте обобщим наши знания и вместе составим алгоритм решения задач такого типа. (Называют этапы учащиеся, учитель контролирует).
Записать краткое условие.
Сделать рисунок с указанием всех векторов.
Выбрать координатные оси для каждого тела в отдельности.
Найти проекции векторов на выбранные оси.
Написать второй закон в скалярной форме.
Составить систему уравнений (для каждого тела).
Решить её.
Оценить его "разумность".
В течение урока вы получили задание на дом:
Поменять F 1 и F 2 местами в задаче №1.
Найти силу реакции действующую на ось левого блока в задаче №2
Задача №313
А сейчас, в заключении нашего урока ещё раз проверьте свои ЗУН при работе с графиками и выполните тест. (Тест прилагается).
Проверяются ответы. Листочки с работами сдаются. Выставляются оценки активным участникам урока.
Класс: 10
Цели урока: учащиеся должны
- обобщить и систематизировать знания по данной теме.
- научиться применять их к решению задач повышенной сложности.
Задачи урока:
Образовательные задачи урока:
- Повторить основные законы динамики и кинематики с помощью решения задач.
- Продолжить работу над развитием умений работать с графиками.
- Продолжить работу над развитием умений решать количественные задачи по рассматриваемой теме.
Развивающие задачи:
- Развитие познавательного интереса к предмету посредством обучения учащихся переносить знания в практическую деятельность.
- Развитие умений применять полученные знания в новой ситуации.
- Развитие логического мышления учащихся, самостоятельности мышления.
- Продолжить работу над развитием умений решать физические задач.
Воспитательные задачи:
- Продолжить работу по воспитанию культуры научного труда посредством наблюдения, усвоения научной информации.
- Воспитание целеустремленности к процессам познания.
- Воспитание стремления к преодолению трудностей в процессе интеллектуальной деятельности.
- Аккуратность при оформлении чертежей;
I этап:
Цель: Организация учащихся для работы на уроке. Создание положительного эмоционального настроя на работу. Сообщение цели урока, форм организации их деятельности.
II этап:
Цель: Диагностика знаний учащихся, необходимых для решения задач.
а) Физический диктант.
Тело движется горизонтально под действием силы F = 2H, масса тела 2кг, ч = 0.2.
Уравнение движения тела x = 3+2t-0,5t 2
Зарисуйте все векторы.
Запишите II закон Ньютона в векторной форме.
Выберите оси координат и запишите закон в проекции на оси.
Найдите вес тела.
Найдите силу давления на поверхность.
Запишите уравнение зависимости V x (t).
Найдите силу трения F тр. (2 способа).
Ответы к физическому диктанту:
2) + тр + m + = m
3) F тр -? F = ma N - mg =0
4) P = N = mg P=20H
5) F g = N = 20H
6) V x = 2 - t 2
7) 1. F тр = чN N=mg F тр = чmg F тр =0,2*2кг*10м/с 2 = 4H
2. F тр = ma + F F тр = 1*2H+2H = 4H
После диктанта взаимоконтроль учащихся.
Оценка знаний: Все верно - "5"; 2 ошибки - "4"; 3 верных ответа - "2"
б) Проведем "аукцион" формул.
Учитель: продается лот.
На графике изображена зависимость V x (t) тела на горизонтальном участке. Извлеките максимум информации из него о движении этого тела.
Дано: m = 2кг
Правильный ответ - карточка. Четыре карточки - "5". Два помощника следят за быстротой поднятия рук.
Возможные варианты ответов.
По графику можно определить характер движения на участке
t (0,5) a 1 < 90 а 1 > 0 движение равноускоренное
t (5,10) a 2 > 90 а 2 < 0 движение равнозамедленное
Можно определить величину ускорения тела
а 1 = 2м/с 2 а 2 = -2 м/с 2 |а 1 |= |а 2 |
Определим перемещение на каждом участке S 1 = 25м S 2 = 25м
(двумя способами аналитически и графически)
Определим весь путь, пройденный телом (движение S 2 прямолинейно в одну сторону) S = S 1 + S 2 S=50м.
Определим среднюю скорость на всем пути V ср =S/t V ср = 5 м/с
На 1 участке равнодействующая сил направлена вдоль оси F 1 = 4H
На 2 участке равнодействующая сил направлена против оси F 2 = 4H
Можно записать зависимость V x (t)
Можно найти вес тела P = mg P = 20H
Подведение итогов. Выставление оценок. Поощрение хорошо работающих учеников.
III этап:
Цель: Закрепление и расширение знаний, умений и навыков в решении задач.
Задача №1.
Решает учитель у доски с комментариями учащихся.
Два груза, массы которых m 1 = 0.1кг; m 2 = 0.2кг связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К левому грузу приложена F 2 = 0,5H; к правому F 1 = 3H. Чему равна сила натяжения нити?
Изобразим все векторы сил действующие на тела.
Запишем уравнение II закона в векторной форме для каждого тела.
I тело 1 + 1 + + m 1 = m 1
II тело + 2 + 2 + m 2 = m 2
Каковы значения Т 1 и Т 2 ? Т 1 = Т 2 = Т Если ребята сомневаются, то опыт с резиной. Можно ли определить, кто натянул резину сильнее?
Запишем уравнение в проекциях на координатной оси.
ОХ: F 1 - Т = m 1 a ОХ: Т - F 2 = m 2 a
ОУ 1: N 1 - m 1 g = 0 ОУ2: N 2 - m 2 g = 0
Составляем систему: F 1 - Т = m 1 a
Т - F 2 = m 2 a
F 1 - F 2 = a(m 1 + m 2)
a = в уравнение Т = F 2 +
Дома сделайте вычисления, а так же выясните, изменится ли натяжение нити,если силы поменять местами.
На прошлом уроке я задала интересную задачу. Кто решил? Один из решивших оформляет решение на доске. В это время остальные учащиеся решают на местах задачу из сборника задач под редакцией Рымкевич № 312. С места один комментирует, другой расставляет силы на рисунке на доске.
Задача №2
Обращается внимание, что нити две, соответственно силы натяжения разные T 1 ?T 2
I тело: 1 + m 1 = m 1
II тело: 2 + + тр + 1 + m 2 = m 2
III тело: m 3 + 2 = m 3
0Y 1: T 1 -m 1 g = m 1 a
0X: T 2 - T 1 - F тр = m 2 a m 3 g - T 2 = m 3 a
0Y 2: N - m 2 g = 0 F тр = чN=чm 2 g
Составляем систему:
1) T 1 -m 1 g = m 1 a
2) T 2 - T 1 - чm 2 g = m 2 a
3) m 3 g - T 2 = m 3 a
m 3 g - m 1 g - чm 2 g = a(m 1 +m 2 +m 3)
g(2m-m-чm)=a(m+m+2m)
T 1 =m 1 (a+g) T 2 =m 3 (a+g)
Дома дорешайте в числах и найдите силу давления возникающую в оси левого блока (F g =N) (Силу реакции действующую на ось левого блока)
Задача №3
На гладком столе лежит брусок массой 2кг, на котором лежит тело 1кг. Какую силу нужно приложить к нижнему бруску, чтобы он двигался с а = g/2? Коэффициент трения между брусками 0,5.
При записи уравнений движения связанных тел необходимо иметь в виду, что второй закон Ньютона формулируется для тела (одного) массойm . Следовательно, при описании движения связанных тел уравнение движения должно быть записано для каждого тела в отдельности, а действие тел друг на друга определяется силой реакции опоры, натяжения нити и т. д.
Задача 10. На столе находится небольшой деревянный брусок массой 290 г, к которому привязана нить, перекинутая через невесомый блок, закрепленный на краю стола. Ко второму концу нити привязан груз массой 150 г. С каким ускорением будут двигаться эти тела, если коэффициент трения дерева о стол равен 0,32?
Дано: |
Решение. |
|
На брусок (рис. 10), расположенный на столе, очевидно (см. задачу 8), действуют четыре силы: сила тяжести; сила реакции опоры; сила натяжения нити и сила трения. На груз, подвешенный на нити, перекинутой через блок, очевидно (см. задачу 7), действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. для каждого из этих тел, полагая, что их размерами в данной задаче можно пренебречь:
Координатные оси можно выбрать отдельно для каждого тела, поскольку после взятия проекций в формулах останутся только модули векторов (их длины), которые одинаковы во всех системах координат. Возьмем проекции векторов на координатные оси, добавим формулу для силы трения и получим:
Поскольку движущиеся тела связаны, то за одинаковый промежуток времени они будут проходить одинаковое расстояние. Отсюда следует, что модули ускорений, с которыми движутся эти тела, одинаковы. Силы натяжения нити, приложенные к бруску и к грузу, возникают вследствие взаимодействия этих тел и по модулю равны друг другу (более подробное объяснение равенства модулей этих сил будет приведено при изучении вращательного движения тел).
Решение системы уравнений выполним в следующем порядке: из второго уравнения выразим силу реакции опоры и подставим в третье уравнение, а получившееся при этом выражение для силы трения подставим в первое:
Сложим левые и правые части уравнений системы, при этом в правой части полученного выражения взаимно уничтожится неизвестная сила натяжения нити, а затем выразим ускорение:
;
Ответ
:
тела будут двигаться с ускорением
.
Движение под действием переменных сил
Если силы, действующие на тело, при его движении изменяются с течением времени, то ускорение, с которым движется тело, не будет оставаться постоянным.Это обстоятельство делает невозможным использование формул кинематики равноускоренного движения и требует применения дифференциального и интегрального исчисления при решении задач такого типа.
Задача
11.
Водный мотоцикл массой 160 кг (без водителя)
движется по спокойной воде. После падения
водителя на крутом вираже и автоматической
остановки двигателя скорость мотоцикла
при его дальнейшем движении по прямой
за 4,5 с уменьшилась в 10 раз. Считая силу
сопротивления движению пропорциональной
скорости (
),
найти коэффициент сопротивления.
Дано: | |
Движение вод-ного мотоцикла пос-ле остановки двигателя происходит под действием трех сил: силы тяжести, направленной вертикально вниз, силы Архимеда, направленной вверх, и силы сопротивления, направленной противскорости. На основании второго закона Ньютона запишем уравнение движения :
.
Выберем
ось Ox
вдоль направления движения. Тогда для
этой оси уравнение можно переписать
с учетом того, что проекции силы тяжести
и силы Архимеда на горизонтальную ось
равны нулю, а проекция силы сопротивления
:
.
Из уравнения видно, что ускорение, с которым движется водный мотоцикл, не остается постоянным с течением времени, а изменяется вместе с изменением скорости. По определению для ускорения при одномерном движении и произвольном характере зависимости ускорения от времени можно записать:
(именно поэтому в уравнении не взяты проекции скорости и ускорения).
Подставляя формулу в уравнение, получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, в котором неизвестной является функция скорости от времени:
.
Разделим переменные и проинтегрируем обе части уравнения, полагая, что секундомер был включен в момент выключения двигателя:
.
С учетом формулы Ньютона-Лейбница и правил потенцирования, получим:
.
Если необходимо получить зависимость скорости от времени, то следует взять экспоненту от обеих частей выражения и применить к левой части основное логарифмическое тождество. В данной задаче искомую величину выразим непосредственно из формулы:
;
.
Ответ
:
коэффициент сопротивления движению
.