Основной задачей динамики при рассмотрении движения связанных тел в разных системах отсчета является объяснение причин, которые определяют характер движения. При этом возникает необходимость понять, при каких условиях системы тел движутся по прямой линии, в каком случае их траекторией является кривая, в результате действия каких причин тела движутся равномерно, ускоренно или замедленно.

При изучении поведения систем связанных тел со скоростями много меньшими скорости света используют классические законы Ньютона:

Если тела не взаимодействуют с другими телами или действие других тел скомпенсировано, то скорость системы не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Система перемещается равномерно и прямолинейно.

Сила ($\overline{F}$), вызывающая ускорение системы тел ($\overline{a}$), в инерциальной системе отсчета пропорциональная массе ($m$) тел, умноженной на его ускорение:

\[\overline{F}=m\overline{a}\left(1\right).\]

Силы взаимодействия тел равны по величине, направлены вдоль одной прямой и имеют противоположные направления.

Если не указано иное, то связи, обычно нити, считают нерастяжимыми и невесомыми. В таком случае при рассмотрении движения связанных тел необходимо помнить, что ускорение движения тел в системе одинаково (результат действия связей). Силу натяжения нитей считают равной по всей длине нити.

В некоторых случаях можно выбирать разные системы координат при рассмотрении движения разных тел системы.

Схема решения типовой задачи при движении связанных тел

  1. Графически изображаем ситуацию, описанную в задаче. Рисуем чертеж, изображаем силы, скорости движения тел, ускорения. Выбираем и изображаем системы отсчета.
  2. Записываем основной закон динамики поступательного движения (второй закон Ньютона) в векторной форме, необходимые кинематические уравнения движения, другие необходимые законы и формулы, например, основной закон динамики вращательного движения, формулу силы трения и т.д.
  3. Проектируем векторные уравнения на оси систем координат.
  4. Решаем уравнения.
  5. Проводим необходимые вычисления, предварительно убедившись, что все величины записаны в единой системе единиц.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. На горизонтальной поверхности находится тележка, имеющая массу $M$. К ней привязана невесомая, нерастяжимая нить. Нить перекинута через невесомый блок. Ко второму концу нити прикреплен груз массой $m$ (рис.1). С каким ускорением будет двигаться тележка. Силы трения не учитывать.

Решение. Изобразим силы, которые действуют на тележку и груз на рис.1. и ускорения движения тел системы. Помним, что сил трения нет. Отметим, что ускорения связанных тел (тележки и груза) будут одинаковы, кроме этого силы натяжения нити ($\overline{N}$), действующие на тележку и на груз равны по величине (блок невесомый), но имеют разные направления (рис.1). Запишем второй закон Ньютона для тележки:

\[{\overline{F}}_R+M\overline{g}+\overline{N}=M\overline{a}\left(1.1\right).\]

Основной закон динамики для груза имеет вид:

Систему отсчета свяжем с Землей, запишем проекции уравнения (1.1) на оси координат:

\[\left\{ \begin{array}{c} X:N=Ma \\ Y:Mg=F_R \end{array} \right.\left(1.3\right).\]

В проекциях на эти же оси координат уравнение (1.2) даст одно скалярное уравнение:

\[\left\{ \begin{array}{c} X:mg-N=ma \\ Y:0 \end{array} \right.\left(1.4\right).\]

Из первого уравнения системы (1.3) и уравнения (1.4) имеем:

Выразим из (1.5) искомое ускорение:

Ответ. $a=\frac{m}{M+m}$

Пример 2

Задание. Два груза массами $m_1\ и\ m_2,$ связанные невесомой нитью, скользят по гладкой поверхности. На груз массы $m_1\ $действует с силой F направленной горизонтально (рис.2). Каково ускорение грузов? Какой будет сила натяжения нити, связывающей эти грузы? Силу трения грузов о поверхность не учитывайте. \textit{}

Решение. На рис. 2 изобразим силы, действующие на груз массы $m_1$ (рис.2).

В соответствии со вторым законом Ньютона запишем:

Систему отсчета свяжем с Землей, выберем направления осей координат (рис.2).

Для решения задачи нам потребуется проекция уравнения (2.1) только на ось Y:

В уравнении (2.2) мы имеем две неизвестные величины: сила натяжения нити ($T$) и ускорение тела ($a$). Для нахождения ускорения с которым движется первое тело и вся система из связанных тел, выясним, какие силы действуют на систему, если оба тела считать одним целым. Тогда на систему массой $m_1+m_2$ действует одна сила $\overline{F}$. В этом случае второй закон Ньютона принимает вид:

\[\left(m_1+m_2\right)\overline{a}=\overline{F}+\left(m_1+m_2\right)\overline{g}+\overline{N}\left(2.3\right).\]

В проекции на ось Y формулы (2.3) получим:

\[\left(m_1+m_2\right)a=F\ \left(2.4\right).\]

Из (2.4) ускорение тел равно:

Из (2.2) и (2.5) получим силу натяжения нити равной:

Ответ. $\ 1)a=\frac{F}{m_1+m_2}.$ 2) $T=F\left(1-\frac{m_1}{m_1+m_2}\right)$

При записи уравнений движения связанных тел необходимо иметь в виду, что второй закон Ньютона формулируется для тела (одного) массой m . Следовательно, при описании движения связанных тел уравнение движения должно быть записано для каждого тела в отдельности, а действие тел друг на друга определяется силой реакции опоры, натяжения нити и т. д.

Задача 10. На столе находится небольшой деревянный брусок массой 290 г, к которому привязана нить, перекинутая через невесомый блок, закрепленный на краю стола. Ко второму концу нити привязан груз массой 150 г. С каким ускорением будут двигаться эти тела, если коэффициент трения дерева о стол равен 0,32?

Дано:

Решение.

На брусок (рис. 10), расположенный на столе, очевидно (см. задачу 8), действуют четыре силы: сила тяжести; сила реакции опоры; сила натяжения нити и сила трения. На груз, подвешенный на нити, перекинутой через блок, очевидно (см. задачу 7), действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. для каждого из этих тел, полагая, что их размерами в данной задаче можно пренебречь:

Координатные оси можно выбрать отдельно для каждого тела, поскольку после взятия проекций в формулах останутся только модули векторов (их длины), которые одинаковы во всех системах координат. Возьмем проекции векторов на координатные оси, добавим формулу для силы трения и получим:

Поскольку движущиеся тела связаны, то за одинаковый промежуток времени они будут проходить одинаковое расстояние. Отсюда следует, что модули ускорений, с которыми движутся эти тела, одинаковы. Силы натяжения нити, приложенные к бруску и к грузу, возникают вследствие взаимодействия этих тел и по модулю равны друг другу (более подробное объяснение равенства модулей этих сил будет приведено при изучении вращательного движения тел).

Решение системы уравнений выполним в следующем порядке: из второго уравнения выразим силу реакции опоры и подставим в третье уравнение, а получившееся при этом выражение для силы трения подставим в первое:

Сложим левые и правые части уравнений системы, при этом в правой части полученного выражения взаимно уничтожится неизвестная сила натяжения нити, а затем выразим ускорение:

;

Ответ : тела будут двигаться с ускорением
.

    1. Движение под действием переменных сил

Если силы, действующие на тело, при его движении изменяются с течением времени, то ускорение, с которым движется тело, не будет оставаться постоянным. Это обстоятельство делает невозможным использование формул кинематики равноускоренного движения и требует применения дифференциального и интегрального исчисления при решении задач такого типа.

Задача 11. Водный мотоцикл массой 160 кг (без водителя) движется по спокойной воде. После падения водителя на крутом вираже и автоматической остановки двигателя скорость мотоцикла при его дальнейшем движении по прямой за 4,5 с уменьшилась в 10 раз. Считая силу сопротивления движению пропорциональной скорости (
), найти коэффициент сопротивления .

Дано:

Решение.

Движение вод-ного мотоцикла пос-ле остановки двигателя происходит под действием трех сил: силы тяжести, направленной вертикально вниз, силы Архимеда, направленной вверх, и силы сопротивления, направленной против скорости. На основании второго закона Ньютона запишем уравнение движения :

.

Выберем ось Ox вдоль направления движения. Тогда для этой оси уравнение можно переписать с учетом того, что проекции силы тяжести и силы Архимеда на горизонтальную ось равны нулю, а проекция силы сопротивления
:

.

Из уравнения видно, что ускорение, с которым движется водный мотоцикл, не остается постоянным с течением времени, а изменяется вместе с изменением скорости. По определению для ускорения при одномерном движении и произвольном характере зависимости ускорения от времени можно записать:

(именно поэтому в уравнении не взяты проекции скорости и ускорения).

Подставляя формулу в уравнение, получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, в котором неизвестной является функция скорости от времени:

.

Разделим переменные и проинтегрируем обе части уравнения, полагая, что секундомер был включен в момент выключения двигателя:

.

С учетом формулы Ньютона-Лейбница и правил потенцирования, получим:

.

Если необходимо получить зависимость скорости от времени, то следует взять экспоненту от обеих частей выражения и применить к левой части основное логарифмическое тождество. В данной задаче искомую величину выразим непосредственно из формулы:

;

.

Ответ : коэффициент сопротивления движению
.

Класс: 10

Цели урока: учащиеся должны

  • обобщить и систематизировать знания по данной теме.
  • научиться применять их к решению задач повышенной сложности.

Задачи урока:

Образовательные задачи урока:

  • Повторить основные законы динамики и кинематики с помощью решения задач.
  • Продолжить работу над развитием умений работать с графиками.
  • Продолжить работу над развитием умений решать количественные задачи по рассматриваемой теме.

Развивающие задачи:

  • Развитие познавательного интереса к предмету посредством обучения учащихся переносить знания в практическую деятельность.
  • Развитие умений применять полученные знания в новой ситуации.
  • Развитие логического мышления учащихся, самостоятельности мышления.
  • Продолжить работу над развитием умений решать физические задач.

Воспитательные задачи:

  • Продолжить работу по воспитанию культуры научного труда посредством наблюдения, усвоения научной информации.
  • Воспитание целеустремленности к процессам познания.
  • Воспитание стремления к преодолению трудностей в процессе интеллектуальной деятельности.
  • Аккуратность при оформлении чертежей;

I этап:

Цель: Организация учащихся для работы на уроке. Создание положительного эмоционального настроя на работу. Сообщение цели урока, форм организации их деятельности.

II этап:

Цель: Диагностика знаний учащихся, необходимых для решения задач.

а) Физический диктант.

Тело движется горизонтально под действием силы F = 2H, масса тела 2кг, ч = 0.2.

Уравнение движения тела x = 3+2t-0,5t 2

Зарисуйте все векторы.

Запишите II закон Ньютона в векторной форме.

Выберите оси координат и запишите закон в проекции на оси.

Найдите вес тела.

Найдите силу давления на поверхность.

Запишите уравнение зависимости V x (t).

Найдите силу трения F тр. (2 способа).

Ответы к физическому диктанту:

2) + тр + m + = m

3) F тр -? F = ma N - mg =0

4) P = N = mg P=20H

5) F g = N = 20H

6) V x = 2 - t 2

7) 1. F тр = чN N=mg F тр = чmg F тр =0,2*2кг*10м/с 2 = 4H

2. F тр = ma + F F тр = 1*2H+2H = 4H

После диктанта взаимоконтроль учащихся.

Оценка знаний: Все верно - "5"; 2 ошибки - "4"; 3 верных ответа - "2"

б) Проведем "аукцион" формул.

Учитель: продается лот.

На графике изображена зависимость V x (t) тела на горизонтальном участке. Извлеките максимум информации из него о движении этого тела.

Дано: m = 2кг

Правильный ответ - карточка. Четыре карточки - "5". Два помощника следят за быстротой поднятия рук.

Возможные варианты ответов.

По графику можно определить характер движения на участке

t (0,5) a 1 < 90 а 1 > 0 движение равноускоренное

t (5,10) a 2 > 90 а 2 < 0 движение равнозамедленное

Можно определить величину ускорения тела

а 1 = 2м/с 2 а 2 = -2 м/с 2 |а 1 |= |а 2 |

Определим перемещение на каждом участке S 1 = 25м S 2 = 25м

(двумя способами аналитически и графически)

Определим весь путь, пройденный телом (движение S 2 прямолинейно в одну сторону) S = S 1 + S 2 S=50м.

Определим среднюю скорость на всем пути V ср =S/t V ср = 5 м/с

На 1 участке равнодействующая сил направлена вдоль оси F 1 = 4H

На 2 участке равнодействующая сил направлена против оси F 2 = 4H

Можно записать зависимость V x (t)

Можно найти вес тела P = mg P = 20H

Подведение итогов. Выставление оценок. Поощрение хорошо работающих учеников.

III этап:

Цель: Закрепление и расширение знаний, умений и навыков в решении задач.

Задача №1.

Решает учитель у доски с комментариями учащихся.

Два груза, массы которых m 1 = 0.1кг; m 2 = 0.2кг связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К левому грузу приложена F 2 = 0,5H; к правому F 1 = 3H. Чему равна сила натяжения нити?

Изобразим все векторы сил действующие на тела.

Запишем уравнение II закона в векторной форме для каждого тела.

I тело 1 + 1 + + m 1 = m 1

II тело + 2 + 2 + m 2 = m 2

Каковы значения Т 1 и Т 2 ? Т 1 = Т 2 = Т Если ребята сомневаются, то опыт с резиной. Можно ли определить, кто натянул резину сильнее?

Запишем уравнение в проекциях на координатной оси.

ОХ: F 1 - Т = m 1 a ОХ: Т - F 2 = m 2 a

ОУ 1: N 1 - m 1 g = 0 ОУ2: N 2 - m 2 g = 0

Составляем систему: F 1 - Т = m 1 a

Т - F 2 = m 2 a

F 1 - F 2 = a(m 1 + m 2)

a = в уравнение Т = F 2 +

Дома сделайте вычисления, а так же выясните, изменится ли натяжение нити,если силы поменять местами.

На прошлом уроке я задала интересную задачу. Кто решил? Один из решивших оформляет решение на доске. В это время остальные учащиеся решают на местах задачу из сборника задач под редакцией Рымкевич № 312. С места один комментирует, другой расставляет силы на рисунке на доске.

Задача №2

Обращается внимание, что нити две, соответственно силы натяжения разные T 1 ?T 2

I тело: 1 + m 1 = m 1

II тело: 2 + + тр + 1 + m 2 = m 2

III тело: m 3 + 2 = m 3

0Y 1: T 1 -m 1 g = m 1 a

0X: T 2 - T 1 - F тр = m 2 a m 3 g - T 2 = m 3 a

0Y 2: N - m 2 g = 0 F тр = чN=чm 2 g

Составляем систему:

1) T 1 -m 1 g = m 1 a

2) T 2 - T 1 - чm 2 g = m 2 a

3) m 3 g - T 2 = m 3 a

m 3 g - m 1 g - чm 2 g = a(m 1 +m 2 +m 3)

g(2m-m-чm)=a(m+m+2m)

T 1 =m 1 (a+g) T 2 =m 3 (a+g)

Дома дорешайте в числах и найдите силу давления возникающую в оси левого блока (F g =N) (Силу реакции действующую на ось левого блока)

Задача №3

На гладком столе лежит брусок массой 2кг, на котором лежит тело 1кг. Какую силу нужно приложить к нижнему бруску, чтобы он двигался с а = g/2? Коэффициент трения между брусками 0,5.

IV этап.

Цель: Систематизировать знания с помощью алгоритма решения задач.

В ходе урока мы рассмотрели несколько задач. Давайте обобщим наши знания и вместе составим алгоритм решения задач такого типа. (Называют этапы учащиеся, учитель контролирует).

Записать краткое условие.

Сделать рисунок с указанием всех векторов.

Выбрать координатные оси для каждого тела в отдельности.

Найти проекции векторов на выбранные оси.

Написать второй закон в скалярной форме.

Составить систему уравнений (для каждого тела).

Решить её.

Оценить его "разумность".

В течение урока вы получили задание на дом:

Поменять F 1 и F 2 местами в задаче №1.

Найти силу реакции действующую на ось левого блока в задаче №2

Задача №313

А сейчас, в заключении нашего урока ещё раз проверьте свои ЗУН при работе с графиками и выполните тест. (Тест прилагается).

Проверяются ответы. Листочки с работами сдаются. Выставляются оценки активным участникам урока.

Класс: 10

Цели урока: учащиеся должны

  • обобщить и систематизировать знания по данной теме.
  • научиться применять их к решению задач повышенной сложности.

Задачи урока:

Образовательные задачи урока:

  • Повторить основные законы динамики и кинематики с помощью решения задач.
  • Продолжить работу над развитием умений работать с графиками.
  • Продолжить работу над развитием умений решать количественные задачи по рассматриваемой теме.

Развивающие задачи:

  • Развитие познавательного интереса к предмету посредством обучения учащихся переносить знания в практическую деятельность.
  • Развитие умений применять полученные знания в новой ситуации.
  • Развитие логического мышления учащихся, самостоятельности мышления.
  • Продолжить работу над развитием умений решать физические задач.

Воспитательные задачи:

  • Продолжить работу по воспитанию культуры научного труда посредством наблюдения, усвоения научной информации.
  • Воспитание целеустремленности к процессам познания.
  • Воспитание стремления к преодолению трудностей в процессе интеллектуальной деятельности.
  • Аккуратность при оформлении чертежей;

I этап:

Цель: Организация учащихся для работы на уроке. Создание положительного эмоционального настроя на работу. Сообщение цели урока, форм организации их деятельности.

II этап:

Цель: Диагностика знаний учащихся, необходимых для решения задач.

а) Физический диктант.

Тело движется горизонтально под действием силы F = 2H, масса тела 2кг, ч = 0.2.

Уравнение движения тела x = 3+2t-0,5t 2

Зарисуйте все векторы.

Запишите II закон Ньютона в векторной форме.

Выберите оси координат и запишите закон в проекции на оси.

Найдите вес тела.

Найдите силу давления на поверхность.

Запишите уравнение зависимости V x (t).

Найдите силу трения F тр. (2 способа).

Ответы к физическому диктанту:

2) + тр + m + = m

3) F тр -? F = ma N - mg =0

4) P = N = mg P=20H

5) F g = N = 20H

6) V x = 2 - t 2

7) 1. F тр = чN N=mg F тр = чmg F тр =0,2*2кг*10м/с 2 = 4H

2. F тр = ma + F F тр = 1*2H+2H = 4H

После диктанта взаимоконтроль учащихся.

Оценка знаний: Все верно - "5"; 2 ошибки - "4"; 3 верных ответа - "2"

б) Проведем "аукцион" формул.

Учитель: продается лот.

На графике изображена зависимость V x (t) тела на горизонтальном участке. Извлеките максимум информации из него о движении этого тела.

Дано: m = 2кг

Правильный ответ - карточка. Четыре карточки - "5". Два помощника следят за быстротой поднятия рук.

Возможные варианты ответов.

По графику можно определить характер движения на участке

t (0,5) a 1 < 90 а 1 > 0 движение равноускоренное

t (5,10) a 2 > 90 а 2 < 0 движение равнозамедленное

Можно определить величину ускорения тела

а 1 = 2м/с 2 а 2 = -2 м/с 2 |а 1 |= |а 2 |

Определим перемещение на каждом участке S 1 = 25м S 2 = 25м

(двумя способами аналитически и графически)

Определим весь путь, пройденный телом (движение S 2 прямолинейно в одну сторону) S = S 1 + S 2 S=50м.

Определим среднюю скорость на всем пути V ср =S/t V ср = 5 м/с

На 1 участке равнодействующая сил направлена вдоль оси F 1 = 4H

На 2 участке равнодействующая сил направлена против оси F 2 = 4H

Можно записать зависимость V x (t)

Можно найти вес тела P = mg P = 20H

Подведение итогов. Выставление оценок. Поощрение хорошо работающих учеников.

III этап:

Цель: Закрепление и расширение знаний, умений и навыков в решении задач.

Задача №1.

Решает учитель у доски с комментариями учащихся.

Два груза, массы которых m 1 = 0.1кг; m 2 = 0.2кг связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К левому грузу приложена F 2 = 0,5H; к правому F 1 = 3H. Чему равна сила натяжения нити?

Изобразим все векторы сил действующие на тела.

Запишем уравнение II закона в векторной форме для каждого тела.

I тело 1 + 1 + + m 1 = m 1

II тело + 2 + 2 + m 2 = m 2

Каковы значения Т 1 и Т 2 ? Т 1 = Т 2 = Т Если ребята сомневаются, то опыт с резиной. Можно ли определить, кто натянул резину сильнее?

Запишем уравнение в проекциях на координатной оси.

ОХ: F 1 - Т = m 1 a ОХ: Т - F 2 = m 2 a

ОУ 1: N 1 - m 1 g = 0 ОУ2: N 2 - m 2 g = 0

Составляем систему: F 1 - Т = m 1 a

Т - F 2 = m 2 a

F 1 - F 2 = a(m 1 + m 2)

a = в уравнение Т = F 2 +

Дома сделайте вычисления, а так же выясните, изменится ли натяжение нити,если силы поменять местами.

На прошлом уроке я задала интересную задачу. Кто решил? Один из решивших оформляет решение на доске. В это время остальные учащиеся решают на местах задачу из сборника задач под редакцией Рымкевич № 312. С места один комментирует, другой расставляет силы на рисунке на доске.

Задача №2

Обращается внимание, что нити две, соответственно силы натяжения разные T 1 ?T 2

I тело: 1 + m 1 = m 1

II тело: 2 + + тр + 1 + m 2 = m 2

III тело: m 3 + 2 = m 3

0Y 1: T 1 -m 1 g = m 1 a

0X: T 2 - T 1 - F тр = m 2 a m 3 g - T 2 = m 3 a

0Y 2: N - m 2 g = 0 F тр = чN=чm 2 g

Составляем систему:

1) T 1 -m 1 g = m 1 a

2) T 2 - T 1 - чm 2 g = m 2 a

3) m 3 g - T 2 = m 3 a

m 3 g - m 1 g - чm 2 g = a(m 1 +m 2 +m 3)

g(2m-m-чm)=a(m+m+2m)

T 1 =m 1 (a+g) T 2 =m 3 (a+g)

Дома дорешайте в числах и найдите силу давления возникающую в оси левого блока (F g =N) (Силу реакции действующую на ось левого блока)

Задача №3

На гладком столе лежит брусок массой 2кг, на котором лежит тело 1кг. Какую силу нужно приложить к нижнему бруску, чтобы он двигался с а = g/2? Коэффициент трения между брусками 0,5.

При записи уравнений движения связанных тел необходимо иметь в виду, что второй закон Ньютона формулируется для тела (одного) массойm . Следовательно, при описании движения связанных тел уравнение движения должно быть записано для каждого тела в отдельности, а действие тел друг на друга определяется силой реакции опоры, натяжения нити и т. д.

Задача 10. На столе находится небольшой деревянный брусок массой 290 г, к которому привязана нить, перекинутая через невесомый блок, закрепленный на краю стола. Ко второму концу нити привязан груз массой 150 г. С каким ускорением будут двигаться эти тела, если коэффициент трения дерева о стол равен 0,32?

Дано:

Решение.

На брусок (рис. 10), расположенный на столе, очевидно (см. задачу 8), действуют четыре силы: сила тяжести; сила реакции опоры; сила натяжения нити и сила трения. На груз, подвешенный на нити, перекинутой через блок, очевидно (см. задачу 7), действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. для каждого из этих тел, полагая, что их размерами в данной задаче можно пренебречь:

Координатные оси можно выбрать отдельно для каждого тела, поскольку после взятия проекций в формулах останутся только модули векторов (их длины), которые одинаковы во всех системах координат. Возьмем проекции векторов на координатные оси, добавим формулу для силы трения и получим:

Поскольку движущиеся тела связаны, то за одинаковый промежуток времени они будут проходить одинаковое расстояние. Отсюда следует, что модули ускорений, с которыми движутся эти тела, одинаковы. Силы натяжения нити, приложенные к бруску и к грузу, возникают вследствие взаимодействия этих тел и по модулю равны друг другу (более подробное объяснение равенства модулей этих сил будет приведено при изучении вращательного движения тел).

Решение системы уравнений выполним в следующем порядке: из второго уравнения выразим силу реакции опоры и подставим в третье уравнение, а получившееся при этом выражение для силы трения подставим в первое:

Сложим левые и правые части уравнений системы, при этом в правой части полученного выражения взаимно уничтожится неизвестная сила натяжения нити, а затем выразим ускорение:

;

Ответ : тела будут двигаться с ускорением
.

    1. Движение под действием переменных сил

Если силы, действующие на тело, при его движении изменяются с течением времени, то ускорение, с которым движется тело, не будет оставаться постоянным.Это обстоятельство делает невозможным использование формул кинематики равноускоренного движения и требует применения дифференциального и интегрального исчисления при решении задач такого типа.

Задача 11. Водный мотоцикл массой 160 кг (без водителя) движется по спокойной воде. После падения водителя на крутом вираже и автоматической остановки двигателя скорость мотоцикла при его дальнейшем движении по прямой за 4,5 с уменьшилась в 10 раз. Считая силу сопротивления движению пропорциональной скорости (
), найти коэффициент сопротивления.

Дано:

Решение.

Движение вод-ного мотоцикла пос-ле остановки двигателя происходит под действием трех сил: силы тяжести, направленной вертикально вниз, силы Архимеда, направленной вверх, и силы сопротивления, направленной противскорости. На основании второго закона Ньютона запишем уравнение движения :

.

Выберем ось Ox вдоль направления движения. Тогда для этой оси уравнение можно переписать с учетом того, что проекции силы тяжести и силы Архимеда на горизонтальную ось равны нулю, а проекция силы сопротивления
:

.

Из уравнения видно, что ускорение, с которым движется водный мотоцикл, не остается постоянным с течением времени, а изменяется вместе с изменением скорости. По определению для ускорения при одномерном движении и произвольном характере зависимости ускорения от времени можно записать:

(именно поэтому в уравнении не взяты проекции скорости и ускорения).

Подставляя формулу в уравнение, получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, в котором неизвестной является функция скорости от времени:

.

Разделим переменные и проинтегрируем обе части уравнения, полагая, что секундомер был включен в момент выключения двигателя:

.

С учетом формулы Ньютона-Лейбница и правил потенцирования, получим:

.

Если необходимо получить зависимость скорости от времени, то следует взять экспоненту от обеих частей выражения и применить к левой части основное логарифмическое тождество. В данной задаче искомую величину выразим непосредственно из формулы:

;

.

Ответ : коэффициент сопротивления движению
.