Данный урок предназначается для самостоятельного изучения темы «Двугранный угол». В ходе этого занятия учащиеся познакомятся с одной из самых важных геометрических фигур - двугранным углом. Также на уроке нам предстоит узнать о том, как определить линейный угол рассматриваемой геометрической фигуры и какой бывает двугранный угол при основании фигуры.

Повторим, что такое угол на плоскости и как он измеряется.

Рис. 1. Плоскость

Рассмотрим плоскость α (рис. 1). Из точки О исходят два луча - ОВ и ОА .

Определение . Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называется углом.

Угол измеряется в градусах и в радианах.

Вспомним, что такое радиан.

Рис. 2. Радиан

Если мы имеем центральный угол, длина дуги которого равна радиусу, то такой центральный угол называется углом в 1 радиан. , ∠АОВ = 1 рад (рис. 2).

Связь радианов и градусов.

рад.

Получаем, рад. (). Тогда,

Определение . Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а , не принадлежащими одной плоскости.

Рис. 3. Полуплоскости

Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 3). Их общая граница - а . Указанная фигура называется двугранным углом.

Терминология

Полуплоскости α и β - это грани двугранного угла.

Прямая а - это ребро двугранного угла.

На общем ребре а двугранного угла выберем произвольную точку О (рис. 4). В полуплоскости α из точки О восстановим перпендикуляр ОА к прямой а . Из той же точки О во второй полуплоскости β восставим перпендикуляр ОВ к ребру а . Получили угол АОВ , который называется линейным углом двугранного угла.

Рис. 4. Измерение двугранного угла

Докажем равенство всех линейных углов для данного двугранного угла.

Пусть мы имеем двугранный угол (рис. 5). Выберем точку О и точку О 1 на прямой а . Построим линейный угол соответствующий точке О , т. е. проведем два перпендикуляра ОА и ОВ в плоскостях α и β соответственно к ребру а . Получаем угол АОВ - линейный угол двугранного угла.

Рис. 5. Иллюстрация доказательства

Из точки О 1 проведем два перпендикуляра ОА 1 и ОВ 1 к ребру а в плоскостях α и β соответственно и получим второй линейный угол А 1 О 1 В 1 .

Лучи О 1 А 1 и ОА сонаправленны, так как они лежат в одной полуплоскости и параллельны между собой как два перпендикуляра к одной и той же прямой а .

Аналогично, лучи О 1 В 1 и ОВ сонаправлены, значит, ∠ АОВ = ∠ А 1 О 1 В 1 как углы с сонаправленными сторонами, что и требовалось доказать.

Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру двугранного угла.

Доказать : а ⊥ АОВ.

Рис. 6. Иллюстрация доказательства

Доказательство :

ОА ⊥ а по построению, ОВ ⊥ а по построению (рис. 6).

Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым ОА и ОВ из плоскости АОВ , значит, прямая а перпендикулярна плоскости ОАВ , что и требовалось доказать.

Двугранный угол измеряется своим линейным углом. Это означает, что, сколько градусов радиан содержится в линейном угле, столько же градусов радиан содержится в его двугранном угле. В соответствии с этим различают следующие виды двугранных углов.

Острый (рис. 6)

Двугранный угол острый, если его линейный угол острый, т.е. .

Прямой (рис. 7)

Двугранный угол прямой, когда его линейный угол равен 90°- Тупой (рис. 8)

Двугранный угол тупой, когда его линейный угол тупой, т.е. .

Рис. 7. Прямой угол

Рис. 8. Тупой угол

Примеры построения линейных углов в реальных фигурах

АВС D - тетраэдр.

1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ .

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Построение :

Речь идет о двугранном угле, который образован ребром АВ и гранями АВ D и АВС (рис. 9).

Проведем прямую D Н перпендикулярно плоскости АВС , Н - основание перпендикуляра. Проведем наклонную D М перпендикулярно прямой АВ, М - основание наклонной. По теореме о трех перпендикулярах заключаем, что проекция наклонной НМ также перпендикулярна прямой АВ .

То есть, из точки М восстановлены два перпендикуляра к ребру АВ в двух гранях АВ D и АВС . Мы получили линейный угол D МН .

Заметим, что АВ , ребро двугранного угла, перпендикулярно плоскости линейного угла, т. е. плоскости D МН . Задача решена.

Замечание . Двугранный угол можно обозначить следующим образом: D АВС , где

АВ - ребро, а точки D и С лежат в разных гранях угла.

2. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС .

Проведем перпендикуляр D Н к плоскости АВС и наклонную D N перпендикулярно прямой АС. По теореме о трех перпендикулярах получаем, что НN - проекция наклонной D N на плоскость АВС, также перпендикулярна прямой АС. D NН - линейный угол двугранного угла с ребром АС .

В тетраэдре D АВС все ребра равны. Точка М - середина ребра АС . Докажите, что угол D МВ - линейный угол двугранного угла ВАС D , т. е. двугранного угла с ребром АС . Одна его грань - АС D , вторая - АСВ (рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Решение :

Треугольник ADC - равносторонний, DM - медиана, а значит и высота. Значит, D М ⊥ АС. Аналогично, треугольник A В C - равносторонний, В M - медиана, а значит, и высота. Значит, ВМ ⊥ АС.

Таким образом, из точки М ребра АС двугранного угла восстановлено два перпендикуляра DM и ВМ к этому ребру в гранях двугранного угла.

Значит, ∠DM В - линейный угол двугранного угла, что и требовалось доказать.

Итак, мы определили двугранный угол, линейный угол двугранного угла.

На следующем уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых и плоскостей, дальше узнаем что такое двугранный угол при основании фигур.

Список литературы по теме "Двугранный угол", "Двугранный угол при основании геометрических фигур"

  1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
  2. Геометрия. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М.: Дрофа, 2008. - 233 с.: ил.
  1. Yaklass.ru ().
  2. E-science.ru ().
  3. Webmath.exponenta.ru ().
  4. Tutoronline.ru ().

Домашнее задание по теме "Двугранный угол", определение двугранного угла при основании фигур

Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 2, 3 стр. 67.

Что такое линейный угол двугранного угла? Как его построить?

АВС D - тетраэдр. Построить линейный угол двугранного угла с ребром:

а) В D б) D С.

АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 - куб. Постройте линейный угол двугранного угла А 1 АВС с ребром АВ . Определите его градусную меру.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Между перпендикулярами к ребру двугранного угла, восстановленными в обеих гранях из одной точки.


Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ЛИНЕЙНЫЙ УГОЛ" в других словарях:

    Moltke Крейсер «Мольтке» в Нью Йорке в 1912 году Основная информация Тип … Википедия

    Муж. перелом, излом, колено, локоть, выступ или залом (впадина) об одной грани. Угол линейный, всякие две встречные черты и промежуток их; угол плоскостной или в плоскостях, встреча двух плоскостей или стен; угол толстый, теловой, встреча в одной … Толковый словарь Даля

    Линкор … Википедия

    А в векторном пространстве L отображение, сопоставляющее каждому вектору е век poro множества D (содержащегося в L и наз. областью определения Л. о.) др. вектор, обозначаемый Ае (и называемый значением Л. о. на векторе е). Выполнены след. условия … Физическая энциклопедия

    У этого термина существуют и другие значения, см. Линейный корабль (значения). «Дредноут» родоначальник класса линкоров … Википедия

    Необходимо перенести содержимое этой статьи в статью «Слава (броненосец)». Вы можете помочь проекту, объединив статьи. В случае необходимости обсуждения целесообразности объединения, замените этот шаблон на шаблон {{к объединению}} … Википедия

«Двугранный угол» - Найдите расстояние от точки В до плоскости. Угол С острый. Треугольник АВС – тупоугольный. Угол С тупой. Расстояние от точки до прямой. В тетраэдре DАВС все ребра равны. Угол между наклонными. Расстояние между основаниями наклонных. Линейные углы двугранного угла равны. Алгоритм построения линейного угла.

«Двугранный угол геометрия» - угол РСВ - линейный для двугранного угла с ребром АС. Найти (увидеть) ребро и грани двугранного угла. Модель может быть как объемной, так и складной. Сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру. Грани. прямая СР перпендикулярна ребру СА (по теореме о трех перпендикулярах). угол РКВ - линейный для двугранного угла с РСАВ.

«Трёхгранный угол» - Признаки равенства трехгранных углов. Дано: Оabc – трехгранный угол; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Урок 6. Следствия. 1) Для вычисления угла между прямой и плоскостью применима формула: Формула трех косинусов. . Дан трехгранный угол Оabc. Трехгранный угол. Теорема. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине меньше 120?.

«Трёхгранные и многогранные углы» - Трехгранные углы додекаэдра. Трехгранные и четырехгранные углы ромбододекаэдра. Четырехгранные углы октаэдра. Трехгранные углы тетраэдра. Измерение многогранных углов. Задача. Многогранные углы. Пятигранные углы икосаэдра. Вертикальные многогранные углы. Трехгранный угол пирамиды. Пусть SA1…An – выпуклый n-гранный угол.

«Угол между прямой и плоскостью» - В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AC1 и плоскостью ADE1. В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AA1 и плоскостью ACE1. Угол между прямой и плоскостью. В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ADE1.

«Многогранный угол» - Выпуклые многогранные углы. Многогранные углы. В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д. В) икосаэдр. Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. Следовательно, ? ASB + ? BSC + ? ASC < 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

Всего в теме 9 презентаций

ГЛАВА ПЕРВАЯ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

V. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ, УГОЛ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ,
УГОЛ ДВУХ СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ, МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

Двугранные углы

38. Определения. Часть плоскости, лежащая по одну сторону от какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, называется полуплоскостью . Фигура, образованная двумя полуплоскостями (Р и Q, черт. 26), исходящими из одной прямой (АВ), называется двугранным углом . Прямая АВ называется ребром , а полуплоскости Р и Q - сторонами или гранями двугранного угла.

Такой угол обозначается обыкновенно двумя буквами, поставленными у его ребра (двугранный угол АВ). Но если при одном ребре лежат нисколько двугранных углов, то каждый из них обозначают четырьмя буквами, из которых две средние стоят при ребре, а две крайние - у граней (например, двугранный угол SCDR) (черт. 27).

Если из произвольной точки D ребра АВ (черт. 28) проведём на каждой грани по перпендикуляру к ребру, то образованный ими угол CDE называется линейным углом двугранного угла.

Величина линейного угла не зависит от положения его вершины на ребре. Так, линейные углы CDE и C 1 D 1 E 1 равны, потому что их стороны соответственно параллельны и одинаково направлены.

Плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру, так как она содержит две прямые, перпендикулярные к нему. Поэтому для получения линейного угла достаточно грани данного двугранного угла пересечь плоскостью, перпендикулярной к ребру, и рассмотреть получившийся в этой плоскости угол.

39. Равенство и неравенство двугранных углов. Два двугранных угла считаются равными, если они при вложении могут совместиться; в противном случае тот из двугранных углов считается меньшим, который составит часть другого угла.

Подобно углам в планиметрии, двугранные углы могут быть смежные, вертикальные и пр.

Если два смежных двугранных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым двугранным углом .

Теоремы. 1) Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы.

2) Большему двугранному углу соответствует больший линейный угол.

Пусть РАВQ, и Р 1 А 1 В 1 Q 1 (черт. 29)-два двугранных угла. Вложим угол А 1 В 1 в угол АВ так, чтобы ребро А 1 В 1 совпало с ребром АВ и грань Р 1 с гранью Р.

Тогда если эти двугранные углы равны, то грань Q 1 совпадёт с гранью Q; если же угол А 1 В 1 меньше угла АВ, то грань Q 1 займёт некоторое положение внутри двугранного угла, например Q 2 .

Заметив это, возьмём на общем ребре какую-нибудь точку В и проведём через неё плоскость R, перпендикулярную к ребру. От пересечения этой плоскости с гранями двугранных углов получатся линейные углы. Ясно, что если двугранные углы совпадут, то у них окажется один и тот же линейный угол CBD; если же двугранные углы не совпадут, если, например, грань Q 1 займёт положение Q 2 , то у большего двугранного угла окажется больший линейный угол (именно: / CBD > / C 2 BD).

40. Обратные теоремы. 1) Равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.

2) Большему линейному углу соответствует больший двугранный угол .

Эти теоремы легко доказываются от противного.

41. Следствия. 1) Прямому двугранному углу соответствует прямой линейный угол, и обратно.

Пусть (черт. 30) двугранный угол PABQ прямой. Это значит, что он равен смежному углу QABP 1 . Но в таком случае линейные углы CDE и CDE 1 также равны; а так как они смежные, то каждый из них должен быть прямой. Обратно, если равны смежные линейные углы CDE и CDE 1 , то равны и смежные двугранные углы, т. е. каждый из ни должен быть прямой.

2) Bcе прямые двугранные углы равны, лотому что у них равны линейные углы.

Подобным же образом легко доказать, что:

3) Вертикальные двугранные углы равны .

4) Двугранные углы с соответственно параллельными и одинаково (или противоположно) направленными гранями равны.

5) Если за единицу двугранных углов возьмём такой двугранный угол, который соответствует единице линейных углов, то можно сказать, чтo двугранный угол измеряется его линейным углом.