Момент количества движения моме́нт коли́чества движе́ния

(кинетический момент, момент импульса, угловой момент), мера механического движения тела или системы тел относительно какого-либо центра (точки) или оси. Для вычисления момента количества движения K материальной точки (тела) справедливы те же формулы, что и для вычисления момента силы, если заменить в них вектор силы на вектор количества движения mv , т. е. K = [r ·mv ], где r - расстояние до оси вращения. Сумма моментов количества движения всех точек системы относительно центра (оси) называется главным моментом количества движения системы (кинетическим моментом) относительно этого центра (оси). При вращательном движении твёрдого тела главный момент количества движения относительно оси вращения z I z на угловую скорость ω тела, т. е. K z = I z ω.

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

МОМЕ́НТ КОЛИ́ЧЕСТВА ДВИЖЕ́НИЯ (кинетический момент, момент импульса, угловой момент), мера механического движения тела или системы тел относительно какого-либо центра (точки) или оси. Для вычисления момента количества движения К материальной точки (тела) справедливы те же формулы, что и для вычисления момента силы (см. МОМЕНТ СИЛЫ) , если заменить в них вектор силы на вектор количества движения mv , в частности K 0 = [r ·mv ]. Сумма моментов количества движения всех точек системы относительно центра (оси) называется главным моментом количества движения системы (кинетическим моментом) относительно этого центра (оси). При вращательном движении твердого тела главный момент количества движения относительно оси вращения z тела выражается произведением момента инерции (см. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ) I z на угловую скорость w тела, т. е. К Z = I z w.


Энциклопедический словарь . 2009 .

Смотреть что такое "момент количества движения" в других словарях:

    - (кинетический момент, угловой момент), одна из мер механич. движения материальной точки или системы. Особенно важную роль М. к. д. играет при изучении вращат. движения. Как и для момента силы, различают М. к. д. относительно центра (точки) и… … Физическая энциклопедия

    - (кинетический момент Момент импульса, угловой Момент), мера механического движения тела или системы тел относительно какого либо центра (точки) или оси. Для вычисления момента количества движения К материальной точки (тела) справедливы те же… … Большой Энциклопедический словарь

    Момент импульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси… … Википедия

    момент количества движения - кинетический момент, одна из мер механического движения материальной точки или системы. Особенно важную роль момент количества движения играет при изучении вращательного движения. Как и для момента силы, различают момент… … Энциклопедический словарь по металлургии

    момент количества движения - judesio kiekio momentas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydis, lygus dalelės padėties vektoriaus iš tam tikro taško į dalelę ir jos judesio kiekio vektorinei sandaugai, t. y. L = r · p; čia L – judesio kiekio momento… …

    момент количества движения - judesio kiekio momentas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Materialiojo taško arba dalelės spindulio vektoriaus ir judesio kiekio vektorinė sandauga. Dažniausiai apibūdina sukamąjį judesį taško arba ašies, iš kurios yra… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

    момент количества движения - judesio kiekio momentas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. angular moment; moment of momentum; rotation moment vok. Drehimpuls, m; Impulsmoment, n; Rotationsmoment, n rus. момент импульса, m; момент количества движения, m; угловой момент … Fizikos terminų žodynas

    Кинетический момент, одна из мер механического движения материальной точки или системы. Особенно важную роль М. к. д. играет при изучении вращательного движения (См. Вращательное движение). Как и для момента силы (См. Момент силы),… … Большая советская энциклопедия

    - (кинетич. момент, момент импульса, угловой момент), мера механич. движения тела или системы тел относительно к. л. центра (точки) или осн. Для вычисления М. к. д. К материальной точки (тела) справедливы те же формулы, что и для вычисления момента … Естествознание. Энциклопедический словарь

    То же, что момент импульса … Большой энциклопедический политехнический словарь

Книги

  • Сочинения , Карл Маркс. Второй том Сочинений К. Маркса и Ф. Энгельса содержит произведения, написанные с сентября 1844 по февраль 1846 года. В конце августа 1844 г. в Париже произошла встреча Маркса и Энгельса,…
  • Теоретическая механика. Динамика металлоконструкций , В. Н. Шинкин. Рассмотрены основные теоретические и практические вопросы динамики материальной системы и аналитической механики по следующим темам: геометрия масс, динамика материальной системы и твердого…

Просмотр: эта статья прочитана 18006 раз

Pdf Выберите язык... Русский Украинский Английский

Краткий обзор

Полностью материал скачивается выше, предварительно выбрав язык


Теорема об изменении момента количества движения материальной точки

Момент количества движения

Момент количества движения точки М относительно центра О − это вектор, направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через вектор количества движения и центр О в ту сторону, откуда поворот вектора количества движения относительно центра О виден против движения часовой стрелки.

Момент количества движения точки М относительно ос и равен произведению проекции вектора количества движения на плоскость перпендикулярную к оси на плечо этой проекции относительно точки О пересечения оси с плоскостью.

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого неподвижного центра равняется геометрической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно того же центра.

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно оси

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторой неподвижной оси равняется алгебраической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно этой же оси.

Законы сохранения момента количества движения материальной точки

  1. Если линия действия равнодействующей приложенных к материальной точке сил все время проходит через некоторый неподвижный центр, то момент количества движения материальной точки остается постоянным.
  2. Если момент равнодействующей приложенных к материальной точке сил относительно некоторой оси все время равняется нулю, то момент количества движения материальной точки относительно этой же оси остается постоянным.

Теорема об изменении главного момента количества движения системы

Кинетический момент

Кинетическим моментом или главным моментом количества движения механической системы относительно центра называют вектор, равный геометрической сумме моментов количества движения всех материальных точек системы относительно этого же центра.

Кинетическим моментом или главным моментом количества движения механической системы относительно оси называют алгебраическую сумму моментов количеств движения всех материальных точек относительно той же оси

Проекция кинетического момента механической системы относительно центра О на ось, проходящую через этот центр, равняется кинетическому моменту системы относительно этой оси.

Теорема об изменении главного момента количества движения системы (относительно центра) - теорема моментов

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра геометрически равняется главному моменту внешних сил, действующих на эту систему, относительно того же центра

Теорема об изменении кинетического момента механической системы (относительно оси)

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой оси равняется главному моменту внешних сил относительно этой же оси.

Законы сохранения кинетического момента механической системы

  1. Если главный момент внешних сил относительно некоторого неподвижного центра все время равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центра величина постоянная.
  2. Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой же оси величина постоянная.
  1. Теорема моментов имеет большое значение при изучении вращательного движения тел и разрешает не учитывать заведомо неизвестные внутренние силы.
  2. Внутренние силы не могут изменить главный момент количества движения системы.

Кинетический момент вращающейся системы

Для системы, которая вращается вокруг неподвижной оси (или оси, проходящей через центр масс), кинетический момент относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно этой оси и угловой скорости.

Формат: pdf

Язык: русский, украинский

Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи. Выполнен выбор материала, расчет допускаемых напряжений, расчет на контактную и изгибную прочность.


Пример решения задачи на изгиб балки
В примере построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, найдено опасное сечение и подобран двутавр. В задаче проанализировано построение эпюр с помощью дифференциальных зависимостей, провелен сравнительный анализ различных поперечных сечений балки.


Пример решения задачи на кручение вала
Задача состоит в проверке прочности стального вала при заданном диаметре, материале и допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. Собственный вес вала не учитывается


Пример решения задачи на растяжение-сжатие стержня
Задача состоит в проверке прочности стального стержня при заданных допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывается


Применение теоремы о сохранении кинетической энергии
Пример решения задачи на применение теоремы о сохранение кинетической энергии механической системы



Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения
Пример решение задачи на определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения


Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении
Пример решения задачи на определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении


Определение усилий в стержнях плоской фермы
Пример решения задачи на определение усилий в стержнях плоской фермы методом Риттера и методом вырезания узлов

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (кинетический момент, момент импульса, орбитальный момент, угловой момент) - одна из динамич. характеристик движения материальной точки или механич. системы; играет особенно важную роль при изучении вращат. движения. Как и для момента силы, различают M. к. д. относительно центра (точки) и относительно оси.

M. к. д. материальной точки относительно центра О равен векторному произведению радиуса-вектора r точки, проведённого из центра О , на её кол-во движения mv , т. е. k 0 = [r m u ] или в др. обозначениях k 0 = r m u . M. к. д. k z материальной точки относительно оси z, проходящей через центр О , равен проекции вектора k 0 на эту ось. Для вычисления M. к. д. точки справедливы все ф-лы, приведённые для вычисления момента силы , если в них заменить вектор F (или его проекции) вектором m u (или его проекциями). Изменение M. к. д. точки происходит под действием момента m 0 (F ) приложенной силы. Характер этого изменения определяется ур-нием d k /dt = m 0 (F ), являющимся следствием осн. закона динамики. Когда m 0 (F ) = 0, что, напр., имеет место для центр. сил, M. к. д. точки относительно центра О остаётся величиной постоянной; точка движется при этом по плоской кривой и её радиус-вектор в любые равные промежутки времени описывает равные площади. Этот результат важен для небесной механики (см. Кеплера законы ),а также для теории движения космич. летат. аппаратов, ИСЗ и др.

Для механич. системы вводится понятие о главном M. к. д. (или кинетич. моменте) системы относительно центра О , равном геом. сумме M. к. д. всех точек сис-темы относительно того же центра:

Вектор K 0 может быть определён его проекциями на взаимно перпендикулярные оси Oxyz . Величины K x , K y , К z , являются одновременно главным M. к. д. системы относительно соответствующих осей. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угл. скоростью w, эти величины равны: K x = -I xz w, К у = = -I yz w, K z = I z w, где I z - осевой, a I xz и I yz - центробежные моменты инерции. Если же тело движется около неподвижной точки О , то для него в проекциях на главные оси инерции, проведённые в точке О , будет K x =- I x w x , К у = 1 у w у, K z = I z w z , где I x , 1 у, I z - моменты инерции относительно гл. осей; w x , w y , w z - проекция мгновенной угл. скорости w на эти оси. Из ф-л видно, что направление вектора K 0 совпадает с направлением w лишь тогда, когда тело вращается вокруг одной из своих гл. (для точки О )осей инерции. В этом случае K 0 = I w , где I - момент инерции тела относительно этой гл. оси.

Изменение главного M. к. д. системы происходит только в результате внеш. воздействий и зависит от гл. момента M e 0 внеш. сил; эта зависимость определяется ур-нием dK 0 /dt = M e 0 (ур-ние моментов). В отличие от случая движения одной точки, ур-ние моментов для системы не является следствием ур-ния кол-в движения, и оба эти ур-ния могут применяться для изучения движения системы одновременно. С помощью одного только ур-ния моментов движение системы (тела) может быть полностью определено лишь в случае чисто вращат. движения (вокруг неподвижной оси или точки). Если гл. момент внеш. сил относительно к--н. центра или оси равен нулю, то главный M. к. д. системы относительно этого центра или оси остаётся величиной постоянной, т. е. имеет место закон сохранения M. к. д. (см.

Билет 14

Вопрос 1

Под физическим маятником можно понимать любое тело, совершающее малые колебания относительно неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести.

Как опытным путем определить положение центра тяжести тела сложной формы относительно оси (расстояние ОС), рассматривалось в разделе “Статика”. По измеренному периоду колебаний этого тела можно определить его момент инерции относительно оси Oz, проходящей через точку О,

и относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс тела.

Интересно знать ещё и следующее. У колеблющихся физических тел на продолжении линии, проходящей через ось вращения и центр тяжести тела, существует точка, которую называют центром качаний.

Если тело заставить колебаться относительно оси, проходящей через центр качаний, то период колебаний этого тела будет точно таким же, как и при колебаниях относительно оси, проходящей через точку О.

Находится центр качаний (т. D на рисунке) на продолжении линии ОС ниже центра тяжести тела на расстоянии, которое принято называть приведенной длиной физического маятника.

Дадим этому понятию следующее определение.

Под приведенной длиной физического маятника понимается длина математического

Маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника.

Приведенную длину маятника легко определить, приравняв выражения, из которых

определяются циклическая частота колебаний в каждом из случаев.

Вопрос 2

Кинетический момент точки и системы относительно центра и оси

Рассмотрим систему материальных точек с массами m 1 m 2 ....m n , имеющих в данный момент скорости v 1 v 2 .....v n относительно инерциальной системы отсчета. Выберем произвольный центр О (Рис.1). Кинетическим моментом точки m j относительно центра О называется вектор момента ее количества движения относительно этого центра.

K oj =m o (q j)=r j  m j v j (j=1,2...n) (1)

Известно, что векторное умножение можно записать через присоединенную матрицу первого сомножителя- радиуса вектора r.

Опуская индекс j, запишем матричное выражение в осях xyz c началом в О:

K o =mRv (2)

где R- кососимметричная присоединенная матрица столбца r

= m =m (3)

Проекция кинетического момента на ось называются кинетическим моментом точки относительно оси . Он вычисляется либо аналитически по формулам (3), либо как момент силы относительно оси. Момент дает только касательная составляющая вектора q (Рис.2).

K Z = + q t h (4)

Момент обращается в ноль, если вектор количества движения (скорость точки) лежит в одной плоскости с осью (параллелен или пересекает ось)

Кинетическим моментом системы относительно центра О называется главный момент количеств движений точек системы относительно этого центра.

K o =SK oj =S m j r j v j (5)

Аналогично с формулой (3) проекции вектора (4) образуют столбец кинетических моментов относительно осей координат

= Sm j (6)

Кинетическим моментом механической системы относительно полюса (оси) называют векторную (алгебраическую) сумму моментов количеств движения всех точек системы относительно этого же полюса О (той же оси)

() . (3.22)

Кинетический момент механической системы часто называют главным моментом количества движения системы соответственно относительно полюса или оси.

Если спроектировать кинетический момент из (3.22) на прямоугольные декартовы оси координат, то получим проекции кинетического момента на эти оси или кинетические моменты относительно осей координат

Если система материальных точек движется поступательно, то и, следовательно, .

Мы воспользовались свойством сочетательности векторного произведения относительно скалярного множителя и формулой для определения радиуса - вектора центра масс (2.4).

Таким образом, кинетический момент системы относительно полюса при поступательном движении равен моменту количества движения системы относительно этого полюса, при условии, что количество движения системы приложено в центре масс.

^ Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения


Рис. 18

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью (рис. 18). Выберем произвольную точку в твердом теле и вычислим кинетический момент этого тела относительно оси вращения. По определению кинетического момента системы относительно оси имеем

.
Но при вращении тела вокруг оси ,

причём количество движения точки - перпендикулярно отрезку и находится в плоскости, перпендикулярной оси вращения . Следовательно, момент количества движения относительно оси для точки

Для всего тела ,

то есть . (3.24)

Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению угловой скорости тела на его момент инерции относительно оси вращения.

Билет 15

Вопрос 1

Согласно принципу возможных перемещений (основному уравнению статики), для того, чтобы механическая система, на которую наложены идеальные, стационарные, удерживающие и голономные связи, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы в этой системе были равны нулю все обобщенные силы:

где Q j - обобщенная сила, соответствующая j - ой обобщенной координате;

s - число обобщенных координат в механической системе.

Если для исследуемой системы были составлены дифференциальные уравнения движения в форме уравнений Лагранжа II - го рода, то для определения возможных положений равновесия достаточно приравнять обобщенные силы нулю и решить полученные уравнения относительно обобщенных координат.

Если механическая система находится в равновесии в потенциальном силовом поле, то из уравнений (1) получаем следующие условия равновесия:

Следовательно, в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение. Не всякое равновесие, определяемое вышеприведенными формулами, может быть реализовано практически. В зависимости от поведения системы при отклонении от положения равновесия говорят об устойчивости или неустойчивости данного положения.

Равновесие механической системы, состояние механической системы, находящейся под действием сил, при котором все её точки покоятся по отношению к рассматриваемой системе отсчёта. Если система отсчёта является инерциальной (см. Инерциальная система отсчёта),равновесие называется абсолютным, в противном случае - относительным. Изучение условий Р. м. с. - одна из основных задач статики. Условия Р. м. с. имеют вид равенств, связывающих действующие силы и параметры, определяющие положение системы; число этих условий равно числу степеней свободы системы. Условия относительности Р. м. с. составляются так же, как и условия абсолютного равновесия, если к действующим на точки силам прибавить соответствующие переносные силы инерции. Условия равновесия свободного твёрдого тела состоят в равенстве нулю сумм проекций на три координатные оси Oxyz и сумм моментов относительно этих осей всех приложенных к телу сил, т. е.

При выполнении условий (1) тело будет по отношению к данной системе отсчёта находиться в покое, если скорости всех его точек относительно этой системы в момент начала действия сил были равны нулю. В противном случае тело при выполнении условий (1) будет совершать т. н. движение по инерции, например двигаться поступательно, равномерно и прямолинейно. Если твёрдое тело не является свободным (см. Связи механические), то условия его равновесия дают те из равенств (1) (или их следствий), которые не содержат реакций наложенных связей; остальные равенства дают уравнения для определения неизвестных реакций. Например, для тела, имеющего неподвижную ось вращения Oz, условием равновесия будет åm z (F k ) = 0; остальные равенства (1) служат для определения реакций подшипников, закрепляющих ось. Если тело закреплено наложенными связями жестко, то все равенства (1) дают уравнения для определённой реакции связей. Такого рода задачи часто решаются в технике.

На основании отвердевания принципа равенства (1), не содержащие реакций внешних связей, дают одновременно необходимые (но недостаточные) условия равновесия любой механической системы и, в частности, деформируемого тела. Необходимые и достаточные условия равновесия любой механической системы могут быть найдены с помощью возможных перемещений принципа. Для системы, имеющей s степеней свободы, эти условия состоят в равенстве нулю соответствующих обобщённых сил:

Q 1 = 0, Q 2 = 0, ×××, Q s = 0. (2)

Из состояний равновесия, определяемых условиями (1) и (2), практически реализуются лишь те, которые являются устойчивыми (см. Устойчивость равновесия). Равновесия жидкостей и газов рассматриваются в гидростатике и аэростатике.

Вопрос 2

Билет 18

для уравновешенной системы сил уже в соответствии с принципом возможных перемещений сумма виртуальных работ сил на любом возможном перемещении системы должна быть равна нулю.

Сформулировать записанное можно следующим образом.

В любой момент движения механической системы с идеальными связями сумма виртуальных работ активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю.

Это равенство принято называть

общим уравнением динамики или принципом Лагранжа-Даламбера.

Вопрос 2

“принцип возможных перемещений”.

Этот принцип считается наиболее общим условием равновесия или равномерного движения любой механической системы. Из него можно получить все аналитические условия равновесия тела под действием системы сил, рассматриваемые в разделе “Статика”.

Формулируется принцип следующим образом:

Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно,

чтобы сумма элементарных работ активных сил на любом возможном перемещении системы

была равна нулю.

Для доказательства необходимости этого условия равновесия любой находящейся в покое механической системы, разделим силы, действующие на любую точку системы, на заданные и силы реакции связей.

Билет 19

Вопрос 1

Приближенная теория гироскопа

Гироскопом называют тело, имеющее неподвижную точку и вращающееся вокруг оси материальной симметрии.

Предположим, что гироскоп вращается с угловой скоростью вокруг собственной оси симметрии. В этом случае кинетический момент

Это одна из важнейших характеристик при движении гироскопа.

В приближенной теории гироскопа принимают, что 1 << и кинетический момент гироскопа равен

Гироскоп с тремя степенями свободы

Гироскоп с тремя степенями свободы способен сопротивляться попытке изменения оси вращения гироскопа.

Рассмотрим гироскоп, у которого неподвижная точка совпадает с центром масс.

Рассмотрим сначала покоящийся гироскоп (= 0, L = 0). Если к гироскопу приложить силу , то очевидно, что гироскоп получит вращательное движение и упадет (т.е. ось гироскопа будет поворачиваться в плоскости чертежа).

Рассмотрим вращающийся (быстро) гироскоп. Прикладываем силу .

По теореме об изменении кинетического момента

Момент перпендикулярен к плоскости чертежа, тогда

Если к оси гироскопа прикладывается сила, то ось гироскопа смещается перпендикулярно действующей силе по направлению вращающего момента.

Если действие силы прекращается, то ось вращения гироскопа останавливается. ^ Говорят, что гироскоп способен противодействовать действию внешних сил.

Рассмотрим случай регулярной прецессии.

Имеется гироскоп, у которого центр масс не совпадает с неподвижной точкой.

На тело действует сила

Допустим OC = h , тогда

Отметим :

Под действием силы тяжести ось гироскопа будет вращаться вокруг вертикальной оси z . Такое явление называется регулярной прецессией.

Введем угловую скорость 1 – это угловая скорость, с которой ось гироскопа вращается вокруг оси z , ее еще называют “угловая скорость прецессии”.

Движение юлы – очень хороший пример движения гироскопа.

Гироскоп с тремя степенями свободы находит широкое применение в современных системах ориентирования (гирокомпас, гирогоризонт …).

ОБОБЩЁННЫЕ КООРДИНАТЫ

независимые параметры qi (i=1, 2, ..., s) любой размерности, число к-рых равно числу s степеней свободы механич. системы и к-рые однозначно определяют положение системы. Закон движения системы в О. к. даётся s ур-ниями вида qi=qi(t), где t - время. О. к. пользуются при решении мн. задач, особенно когда система подчинена связям, налагающим ограничения на её движение. При этом значительно уменьшается число ур-ний, описывающих движение системы, по сравнению, напр., с ур-ниями в декартовых координатах (см. ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ). В системах с бесконечно большим числом степеней свободы (сплошные среды, физ. поля) О. к. являются особые функции пространственных координат и времени, наз. потенциалами, волн. функциями и т. п.

В механике, степени свободы - это совокупность независимых координат перемещения и/или вращения, полностью определяющая положение системы или тела (а вместе с их производными по времени - соответствующими скоростями - полностью определяющая состояние механической системы или тела - то есть их положение и движение).

Число степеней свободы- это количество независимых перемещений, при котором состояние системы меняется!

Таким образом, обобщенной силой , соответствующей i-й обобщенной координате, называется величина, равная коэффициенту при вариации данной обобщенной координаты в выражении возможной работы сил, действующих на механическую систему.

В общем случае обобщенная сила является функцией обобщенных координат, скоростей точек системы и времени. Из определения следует, что обобщенная сила - скалярная величина, которая зависит от выбранных для данной механической системы обобщенных координат. Это значит, что при изменении набора обобщенных координат, определяющих положение данной системы, изменятся и обобщенные силы. Так, для диска радиусом r и массой m, который катится без скольжения по наклонной плоскости (рис. 18.8), за обобщенные координаты можно принять либо s - координата центра масс диска, либо "фи" - угол поворота диска.

4.1. Обобщенная сила системы с одной степенью свободы

Для системы с одной степенью свободы обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате q , называют величину, определяемую формулой

где q – малое приращение обобщенной координаты; – сумма элементарных работ сил системы на ее возможном перемещении.

Билет 21

Вопрос 1

Уравнения двухстепенного гироскопа.

Уравнения двухстепенного гироскопа получаются автоматически из полученных ранее уравнений трехстепенного гироскопа.

определяет движение двухстепенного гироскопа. Второе уравнение описывает движение корпуса, на котором установлен двухстепенной гироскоп.

Если (момент инерции) тела велик, а гироскопический момент мал, то уравнение (2) может вообще не учитываться и пользоваться только (1).

Гироскопический момент:

θ - угол нутации

ω 1 - угловая скорость собственного вращения

ω 2 - скорость прецессии

J z - момент инерции

Нутация - слабое нерегулярное движение вращающегося твёрдого тела, совершающего прецессию.

Прецессия - явление, при котором ось вращающегося объекта поворачивается, например, под действием внешних моментов.

Наблюдать прецессию достаточно просто. Достаточно запустить волчок и подождать, пока он начнёт замедляться. Первоначально ось вращения волчка вертикальна. Затем его верхняя точка постепенно опускается и движется по расходящейся спирали. Это и есть прецессия оси волчка.

Правило Жуковского: Если гироскопу сообщают вынужденное прецессионное движение, то возникает гироскопическая пара сил, стремящаяся сделать ось гироскопа параллельной оси симметрии, причем так, чтобы направления вращения стали одинаковыми после их совпадения.

Вопрос 2

Если голономная механическая система описывается лагранжианом ( - обобщённые координаты, t - время, точкой обозначено дифференцирование по времени) и в системе действуют только потенциальные силы, то уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

где i = 1, 2, … n (n - число степеней свободы механической системы). Лагранжиан представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий системы.

Если в системе действуют непотенциальные силы (например, силы трения), уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

где - кинетическая энергия системы, - обобщённая сила.

По сравнению с ур-ниями в декартовых координатах (см., напр., ур-ния Лагранжа 1-го рода) ур-ния (3) обладают тем важным преимуществом, что число их равно числу степеней свободы системы и не зависит от кол-ва входящих в систему материальных частиц или тел; кроме того, при идеальных связях из ур-ний (3) автоматически исключаются все наперёд неизвестные реакции связей. Л. у. 2-го рода, дающими весьма общий и притом достаточно простой метод решения задач, широко пользуются для изучения движения разл. механич. систем, в частности в динамике механизмов и машин, в теории гироскопа ,в теории колебаний и др.

Билет 22

В некоторых задачах в качестве динамической характеристики движущейся точки вместо самого количества движения рассматривают его момент относительно какого-либо центра или оси. Эти моменты определяются также как и моменты силы.

Моментом количеством движения материальной точки относительно некоторого центра О называется вектор, определяемый равенством

Момент количества движения точки называют также кинетическим моментом .

Момент количества движения относительно какой-либо оси , проходящий через центр О, равен проекции вектора количества движения на эту ось .

Если количество движения задано своими проекциями на оси координат и даны координаты точки в пространстве, то момент количества движения относительно начала координат вычисляется следующим образом:

Проекции момента количества движения на оси координат равны:

Единицей измерения количества движения в СИ является – .

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Динамика

Лекция.. краткое содержание введение в динамику аксиомы классической механики.. введение..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Системы единиц
СГС Си Техническая [L] см м м [M]

Дифференциальные уравнения движения точки
Основное уравнение динамики можно записать так

Основные задачи динамики
Первая или прямая задача: Известна масса точки и закон ее движения, необходимо найти действующую на точку силу. m

Наиболее важные случаи
1. Сила постоянна.

Количество движения точки
Количеством движения материальной точки называется вектор, равный произведению м

Элементарный и полный импульс силы
Действие силы на материальную точку в течении времени

Теорема об изменении количества движения точки
Теорема. Производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе. Запишем основной закон динамики

Теорема об изменении момента количества движения точки
Теорема. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же

Работа силы. Мощность
Одна из основных характеристик силы, оценивающих действие силы на тело при некотором его перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии точки
Теорема. Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

Принцип Даламбера для материальной точки
Уравнение движения материальной точки относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил и сил реакции связей имеет вид:

Динамика несвободной материальной точки
Несвободной материальной точкой называется точка, свобода движения которой ограничена. Тела, ограничивающие свободу движения точки, называются связями

Относительное движение материальной точки
Во многих задачах динамики движение материальной точки рассматривается относительно системы отсчета, движущейся относительно инерциальной системы отсчета.

Частные случаи относительного движения
1. Относительное движение по инерции Если материальная точка движется относительно подвижной системы отсчета прямолинейно и равномерно, то такое движение называется относительны

Геометрия масс
Рассмотрим механическую систему, которая состоит из конечного числа материальных точек с массами

Моменты инерции
Для характеристики распределения масс в телах при рассмотрении вращательных движений требуется ввести понятия моментов инерции. Момент инерции относительно точки

Моменты инерции простейших тел
1. Однородный стержень 2. Прямоугольная пластина 3. Однородный круглый диск

Количество движения системы
Количеством движения системы материальных точек называется векторная сумма колич

Теорема об изменении количества движения системы
Эта теорема существует в трех различных формах. Теорема. Производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих н

Законы сохранения количества движения
1. Если главный вектор всех внешних сил системы равен нулю (), то количество движения системы постоянно

Теорема о движении центра масс
Теорема Центр масс системы движется так же, как и материальная точка, масса которой равна массе всей системы, если на точку действуют все внешние силы, приложенные к рассмат

Момент количества движения системы
Моментом количества движения системы материальных точек относительно некоторого

Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела
Вычислим момент количества движения твердого тела относительно оси вращения.

Теорема об изменении момента количества движения системы
Теорема. Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какого-нибудь центра, равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на

Законы сохранения момента количества движения
1. Если главный момент внешних сил системы относительно точки равен нулю (

Кинетическая энергия системы
Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек системы.

Кинетическая энергия твердого тела
1. Поступательное движение тела. Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении вычисляется так же, как и для одной точки, у которой масса равна массе этого тела.

Теорема об изменении кинетической энергии системы
Эта теорема существует в двух формах. Теорема. Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систе