Любая диагональ делит на два многоугольника и. За и обозначим количество вершин в и соответственно. Многоугольник является -монотонным, если в нём отсутствуют split и merge вершины.

ВЕРШИНА - ВЕРШИНА, в математике точка, в которой сходятся две стороны треугольника или другого многоугольника, либо пересекаются три и более сторон пирамиды или другого многогранника. Алгоритм точки в многоугольнике - Проверка принадлежности данной точки данному многоугольнику На плоскости даны многоугольник и точка. Многоугольник может быть как выпуклым, так и невыпуклым.

ДИАГОНАЛЬ - (греч., от dia чрез, и gonia угол). 1) прямая линия, соединяющая в прямолинейной фигуре вершины двух углов, не лежащие на одной прямой. Определение. Многоугольник - это геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех и более отрезков (звеньев). Отрезки (звенья) замкнутой ломаной линии называются сторонами многоугольника, а общие точки двух отрезков - его вершинами.

Определение. Четырехугольник - это плоская геометрическая фигура, состоящая из четырех точек (вершин четырехугольника) и четырех последовательно соединяющих их отрезков (сторон четырехугольника). У четырехугольника никогда на одной прямой не лежат три вершины. Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые. Многоугольником может называться замкнутая ломаная с самопресечениями и правильные звёздчатые многоугольники.

Линии и многоугольники

1) β n-угольника β-стороной или γ-стороной в соответствии с тем, какой угол примыкает к её левому концу (если смотреть изнутри). Если он ориентирован не так, как ABC, то его верхняя сторона, равная и параллельная AB, является стороной P, а тогда n чётно (в правильном нечётноугольнике нет параллельных сторон).

Многоугольник, заданный одной ломаной

Докажем что из каждой вершины многоугольника выходит не меньше двух диагоналей. Но тогда каждая сторона n-угольника лежит в треугольнике разбиения, содержащем ещё одну его сторону. Дан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны.

Таким образом, углы соответствующие разным сторонам, не накладываются. Будем двигать прямую, параллельную m, и смотреть на длину отрезка, высекаемого на ней многоугольником.

Цвет заливки многоугольника

Триангуляция любого многоугольника не единственна. В этом можно убедиться из примера на рисунке. Простым многоугольником является фигура, ограниченная одной замкнутой ломаной, стороны которой не пересекаются.

Задание стиля многоугольника

У любого простого -вершинного многоугольника всегда существует триангуляция, причём количество треугольников в ней независимо от самой триангуляции. В общем случае в произвольном -угольнике всего возможных вариантов построения диагоналей. Для некоторых классов многоугольников предыдущую оценку можно улучшить. Например, если многоугольник выпуклый, то достаточно лишь выбирать одну его вершину и соединять со всеми остальными, кроме его соседей.

Тогда докажем, что содержит split и merge вершины. Чтобы сделать многоугольник монотонным, нужно избавиться от split и merge вершин путём проведения непересекающихся дигоналей из таких вершин. Рассмотрим горизонтальную заметающую прямую, будем перемещать её сверху вниз вдоль плоскости на которой лежит исходный многоугольник. Будем останавливать её в каждой вершине многоугольника.

Добавление многоугольника на карту

Пусть и - ближайшее левое и правое ребро относительно split вершины, которые пересекает в данный момент. Тип вершины, хранящийся в не имеет значения. Таким образом, чтобы построить диагональ для split вершины нужно обратиться к указателю её левого ребра, которое пересекает в данный момент.

В подходе, описанном выше, требуется находить пересечения заметающей прямой и левых ребёр многоугольника. Создадим приоритетную очередь из вершин, в которой приоритетом будет -координата вершины. Если две вершины имеют одинаковые -координаты, больший приоритет у левой. Вершины будут добавляться на «остановках» заметающей прямой.

Отсюда не пересекает ни одну из сторон в посторонних точках. Поскольку внутри никаких вершин вершин находиться не может, и оба конца любой добавленной ранее диагонали должны лежать выше, диагональ не может пересекать никакую из ранее добавленных диагоналей.

Будем проходить сверху вниз по вершинам многоугольника проводя диагонали где это возможно. Следовательно, наш многоугольник лежит в полосе с границами b и c, откуда получаем, что P – наиболее удаленная от прямой b, содержащей сторону a , вершина многоугольника.

Свойства многоугольников

Многоугольник - это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная без самопересечений (простой многоугольник (рис. 1а)), однако иногда самопересечения допускаются (тогда многоугольник не является простым).

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольника. Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Углом (или внутренним углом) выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, при этом угол считается со стороны многоугольника. В частности угол может превосходить 180° если многоугольник невыпуклый.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разница между 180° и внутренним углом. Из каждой вершины -угольника при > 3 выходят - 3 диагонали, поэтому общее число диагоналей -угольника равно.

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя - четырёхугольником, с пятью - пятиугольником и т.д.

Многоугольник с n вершинами называется n- угольником.

Плоским многоугольником называется фигура, которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади.

Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:

  • 1. он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (т.е. продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);
  • 2. он является пересечением (т.е. общей частью) нескольких полуплоскостей;
  • 3. любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и пентагон.

Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности

Правильный многоугольник - это многоугольник, у которого все углы и все стороны равны между собой.

Свойства многоугольников:

1 Каждая диагональ выпуклого -угольника, где >3, разлагает его на два выпуклых многоугольника.

2 Сумма всех углов выпуклого -угольника равна.

Д-во: Теорему докажем методом математической индукции. При = 3 она очевидна. Предположим, что теорема верна для -угольника, где <, и докажем ее для -угольника.

Пусть- данный многоугольник. Проведем диагональ этого многоугольника. По теореме 3 многоугольник разложен на треугольник и выпуклый -угольник (рис. 5). По предположению индукции. С другой стороны, . Складывая эти равенства и учитывая, что ( - внутренний луч угла ) и (- внутренний луч угла), получаем.При получаем: .

3 Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Д-во: Пусть правильный многоугольник, а и - биссектрисы углов, и (рис. 150). Так как, то, следовательно, * 180° < 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке О. Докажем, что O = ОА 2 = О =… = ОА п . Треугольник О равнобедренный, поэтому О = О . По второму признаку равенства треугольников, следовательно, О = О . Аналогично доказывается, что О = О и т.д. Таким образом, точка О равноудалена от всех вершин многоугольника, поэтому окружность с центром О радиуса О является описанной около многоугольника.

Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например, А 2 , . Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника… нельзя описать более чем одну окружность.

  • 4 В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну.
  • 5 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
  • 6 Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.
  • 7 Симметрия:

Говорят, что фигура обладает симметрией (симметрична), если существует такое движение (не тождественное), переводящее эту фигуру в себя.

  • 7.1. Треугольник общего вида не имеет осей или центров симметрии, он несимметричен. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет одну ось симметрии: серединный перпендикуляр к основанию.
  • 7.2. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (серединные перпендикуляры к сторонам) и поворотную симметрию относительно центра с углом поворота 120°.

7.3 У любого правильного n-угольника есть n осей симметрии, все они проходят через его центр. Он также имеет поворотную симметрию относительно центра с углом поворота.

При четном n одни оси симметрии проходят через противоположные вершины, другие - через середины противоположных сторон.

При нечетном n каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны.

Центр правильного многоугольника с четным числом сторон является его центром симметрии. У правильного многоугольника с нечетным числом сторон центра симметрии нет.

8 Подобие:

При подобии и -угольник переходит в -угольник, полуплоскость - в полуплоскость, поэтому выпуклый n -угольник переходит в выпуклый n -угольник.

Теорема: Если стороны и углы выпуклых многоугольников иудовлетворяют равенствам:

где - коэффициент подия

то эти многоугольники подобны.

  • 8.1 Отношение периметров двух подобных многоугольников равно коэффициенту подобия.
  • 8.2. Отношение площадей двух выпуклых подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

многоугольник треугольник периметр теорема

Многоугольник - это геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией , не имеющей самопересечений.

Звенья ломаной называются сторонами многоугольника , а её вершины - вершинами многоугольника .

Углами многоугольника называются внутренние углы, образованные соседними сторонами. Число углов многоугольника равно числу его вершин и сторон.

Многоугольникам даются названия по количеству сторон. Многоугольник с наименьшим количеством сторон называется треугольником, он имеет всего три стороны. Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырёхугольником, с пятью - пятиугольником и т. д.

Обозначение многоугольника составляют из букв, стоящих при его вершинах, называя их по порядку (по часовой или против часовой стрелки). Например, говорят или пишут: пятиугольник ABCDE :

В пятиугольнике ABCDE точки A , B , C , D и E - это вершины пятиугольника, а отрезки AB , BC , CD , DE и EA - стороны пятиугольника.

Выпуклые и вогнутые

Многоугольник называется выпуклым , если ни одна из его сторон, продолженная до прямой линии, его не пересекает. В обратном случае многоугольник называется вогнутым :

Периметр

Сумма длин всех сторон многоугольника называется его периметром .

Периметр многоугольника ABCDE равен:

AB + BC + CD + DE + EA

Если у многоугольника равны все стороны и все углы, то его называют правильным . Правильными многоугольниками могут быть только выпуклые многоугольники.

Диагональ

Диагональ многоугольника - это отрезок , соединяющий вершины двух углов, не имеющих общей стороны. Например, отрезок AD является диагональю:

Единственным многоугольником, который не имеет ни одной диагонали, является треугольник, так как в нём нет углов, не имеющих общих сторон.

Если из какой-нибудь вершины многоугольника провести все возможные диагонали, то они разделят многоугольник на треугольники:

Треугольников будет ровно на два меньше, чем сторон:

t = n - 2

где t - это количество треугольников, а n - количество сторон.

Разделение многоугольника на треугольники с помощью диагоналей используется для нахождения площади многоугольника, так как чтобы найти площадь какого-нибудь многоугольника, нужно разбить его на треугольники, найти площадь этих треугольников и полученные результаты сложить .

На вопрос что такое многоугольник заданный автором Европейский лучший ответ это

Плоская замкнутая ломаная;


Виды многоугольников
Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с чётырьмя - четырёхугольником, с пятью - пятиугольником и т. д.
Многоугольник с n вершинами называется n-угольником.
Плоским многоугольником называется фигура, которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади.
Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:
он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон) ;
он является пересечением (то есть общей частью) нескольких полуплоскостей;
Каждая диагональ лежит внутри многоугольника;
любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.
Правильный многоугольник с самопересечениями называется звёздчатым, например, правильные пятиконечная и восьмиконечная звёзды.
Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.
Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.
Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от -180° до 180°.

Ответ от Микроскоп [гуру]
Многоуго́льник - это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная.

Существуют три различных варианта определения многоугольника:
Плоская замкнутая ломаная;
Плоская замкнутая ломаная без самопересечений;
Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

В любом случае, вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольника.


Ответ от Владислав Боровик [новичек]
многоугольник это фигура у которой несколько сторон и углов


Ответ от Бракосочетание [новичек]
много угольник это то где много углов


Ответ от саша сафенрайдер [новичек]
много угольник этото где много углов

В разделе на вопрос Объясните, какая фигура называется многоугольником. Что такое вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника? заданный автором Арек Григорян лучший ответ это Многоугольник - это геометрическая фигура, определяется как замкнутая ломаная.
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольника.
Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
Периметр многоугольника - это сумма длин всех многоугольника.
Источник: Спасибо Яндексу за это

Ответ от Ёоколёнок [гуру]





Ответ от Невролог [новичек]
Ответ ОТРЕЗОК!!!


Ответ от Особь [новичек]
огромное спасибо


Ответ от Простыня [новичек]
многоугольник - фигура имеющая больше 4х углов.
вершина - вершина угла, точка пересечения двух сторон.
сторона - ну собственно - сторона))) такая палочка, из которых он составлен
диагональ - линия проведенная из одного угла в другой
периметр - сумма длин всех сторон