Задача отыскания первообразной функции не всегда имеет решение, в то время как продифференцировать мы можем любую функцию. Это объясняет отсутствие универсального метода интегрирования.

В этой статье мы рассмотрим на примерах с подробными решениями основные методы нахождения неопределенного интеграла. Также сгруппируем виды подынтегральных функций, характерные для каждого метода интегрирования.

Навигация по странице.

Непосредственное интегрирование.

Несомненно, основным методом нахождения первообразной функции является непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных и свойств неопределенного интеграла. Все другие методы используются лишь для приведения исходного интеграла к табличному виду.

Пример.

Найдите множество первообразных функции .

Решение.

Запишем функцию в виде .

Так как интеграл суммы функций равен сумме интегралов, то

Числовой коэффициент можно вынести за знак интеграла:

Первый из интегралов приведен к табличному виду, поэтому из таблицы первообразных для показательной функции имеем .

Для нахождения второго интеграла воспользуемся таблицей первообразных для степенной функции и правилом . То есть, .

Следовательно,

где

Интегрирование методом подстановки.

Суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла.

Очень часто метод подстановки выручает при интегрировании тригонометрических функций и функций с радикалами.

Пример.

Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Введем новую переменную . Выразим х через z :

Выполняем подстановку полученных выражений в исходный интеграл:

Из таблицы первообразных имеем .

Осталось вернуться к исходной переменной х :

Ответ:

Очень часто метод подстановки используется при интегрировании тригонометрических функций . К примеру, использование универсальной тригонометрической подстановки позволяет преобразовать подынтегральное выражение к дробно рациональному виду.

Метод подстановки позволяет объяснить правило интегрирования .

Вводим новую переменную , тогда

Подставляем полученные выражения в исходный интеграл:

Если принять и вернуться к исходной переменной х , то получим

Подведение под знак дифференциала.

Метод подведения под знак дифференциала основан на приведении подынтегрального выражения к виду . Далее применяется метод подстановки: вводится новая переменная и после нахождения первообразной для новой переменной, возвращаемся к исходной переменной, то есть

Для удобства, расположите перед глазами в виде дифференциалов, чтобы проще было преобразовывать подынтегральное выражение, а также таблицу первообразных , чтобы видеть к какому виду преобразовывать подынтегральное выражение.

Для примера найдем множество первообразных функции котангенса.

Пример.

Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Подынтегральное выражение можно преобразовать, используя формулы тригонометрии:

Взглянув в таблицу производных, заключаем, что выражение в числителе можно подвести под знак дифференциала , поэтому

То есть .

Пусть , тогда . Из таблицы первообразных видим, что . Возвращаемся к исходной переменной .

Без пояснения решение записывается так:

Интегрирование по частям.

Интегрирование по частям основано на представлении подынтегрального выражения в виде произведения и последующем применении формулы . Этот метод является очень мощным инструментом интегрирования. В зависимости от подынтегральной функции, метод интегрирования по частям иногда приходится применять несколько раз подряд до получения результата. Для примера найдем множество первообразных функции арктангенс.

Пример.

Вычислить неопределенный интеграл .

Решение.

Пусть , тогда

Следует отметить, что при нахождении функции v(x) не прибавляют произвольную постоянную С .

Теперь применяем формулу интегрирования по частям:

Последний интеграл вычислим по методу подведения под знак дифференциала.

Так как , то . Поэтому

Следовательно,

где .

Ответ:

Основные трудности при интегрировании по частям порождает выбор: какую часть подынтегрального выражения брать за функцию u(x) , а какую за дифференциал d(v(x)) . Однако существует ряд стандартных рекомендаций, с которыми рекомендуем ознакомиться в разделе интегрирование по частям .

При интегрировании степенных выражений, например или , пользуются рекуррентными формулами, позволяющими понижать степень от шага к шагу. Эти формулы получены последовательным многократным интегрированием по частям. Рекомендуем ознакомиться с разделом интегрирование с использованием рекуррентных формул .

В заключении хочется обобщить весь материал этой статьи. Основой основ является метод непосредственного интегрирования. Методы подстановки, подведения под знак дифференциала и метод интегрирования по частям позволяют привести исходный интеграл к табличным.

Поскольку сейчас речь пойдет только о неопределенном интеграле, то для сокращения термин «неопределенный» будем опускать.

Для того чтобы научиться вычислять интегралы (или, как говорят, интегрировать функции), нужно, прежде всего, выучить таблицу интегралов:

Таблица1. Таблица интегралов

2.
(
), u >0.

2a.
(α=0);

2б.
(α=1);

2в.
(α=).

3а.

5а)

6а.

7а.

10.

10а.

11.

11а.

12.

13.

13а.

Кроме того, потребуется умение вычислять производную от заданной функции, а значит, нужно вспомнить правила дифференцирования и таблицу производных основных элементарных функций:

Таблица 2. Таблица производных и правила дифференцирования:

6.а.

(sin и ) = cos и  и 

(cos u ) = – sin и  и 

А еще нам потребуется умение находить дифференциал функции. Напомним, что дифференциал функции
находят по формуле
, т.е. дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал её аргумента . Полезно держать в памяти и следующие известные соотношения:

Таблица 3. Таблица дифференциалов

1.
(b = Const )

2.
(
)

5.
(b = Const )

10.

11.

12.

14.

15.

16.

17.

Причем использовать эти формулы можно, как читая их слева направо, так и справа налево.

Рассмотрим последовательно три основных приема вычисления интеграла. Первый из них называют методом непосредственного интегрирования. Оноснован на использовании свойств неопределенного интеграла, включает два основных приема: разложение интеграла на алгебраическую сумму более простых и подведение под знак дифференциала , причем эти приемы могут быть использованы как самостоятельно, так и в совокупности.

А) Рассмотрим разложение на алгебраическую сумму – этот прием предполагает использование тождественных преобразований подынтегральной функции и свойств линейности неопределенного интеграла:
и .

Пример 1. Найти интегралы:

а)
; б)
;

в)
г)

д)
.

Решение.

а) Преобразуем подынтегральную функцию, разделив почленно числитель на знаменатель:

Здесь использовано свойство степеней:
.

б) Сначала преобразуем числитель дроби, затем разделим почленно числитель на знаменатель:

Здесь также использовано свойство степеней:
.

Здесь использовано свойство:
,
.

Здесь использованы формулы 2 и 5 таблицы 1.

Пример 2. Найти интегралы:

а)
; б)
;

в)
г)

д)
.

Решение.

а) Преобразуем подынтегральную функцию, используя тригонометрическое тождество :

Здесь вновь использовано почленное деление числителя на знаменатель и формулы 8 и 9 таблицы 1.

б) Аналогично преобразуем, используя тождество
:

в) Сначала разделим почленно числитель на знаменатель и вынесем за знак интеграла константы, затем используем тригонометрическое тождество
:

г) Применим формулу понижения степени:

д) Используя тригонометрические тождества, преобразуем:

Б) Рассмотрим прием интегрирования, который называют подведением под знак дифференциала . В основе этого приема лежит свойство инвариантности неопределенного интеграла:

если
, то для любой дифференцируемой функции и = и (х ) имеет место:
.

Это свойство позволяет значительно расширить таблицу простейших интегралов, так как в силу этого свойства формулы таблицы 1 справедливы не только для независимой переменной и , но и в случае, когда и – дифференцируемая функция какой-либо другой переменной.

Например,
, но и
, и
, и
.

Или
и
, и
.

Суть метода заключается в выделении в заданном подынтегральном выражении дифференциала некоторой функции так, чтобы этот выделенный дифференциал вместе с остальным выражением составляли табличную формула относительно этой функции. В случае необходимости при таком преобразовании можно соответствующим образом добавлять константы. Например:

(в последнем примере записано ln(3 + x 2) вместо ln|3 + x 2 | , так как выражение 3 + x 2 всегда положительно).

Пример 3. Найти интегралы:

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
; е)
;

ж)
; з)
.

Решение.

а) .

Здесь использованы формулы 2а, 5а и 7а таблицы 1, две последние из которых получены как раз путем подведения под знак дифференциала:

Интегрировать функции вида
приходится очень часто в рамках вычисления интегралов от более сложных функция. Чтобы каждый раз не повторять описанные выше действия, рекомендуем запомнить соответствующие формулы, приведённые в таблице 1.

Здесь использована формула 3 таблицы 1.

в) Аналогично, учитывая что , преобразуем:

.

Здесь использована формула 2в таблицы 1.

г)

.

д) ;

е)

.

ж) ;

з)

.

Пример 4. Найти интегралы:

а)
б)

в)
.

Решение.

а) Преобразуем:

Здесь так же использована формула 3 таблицы 1.

б) Используем формулу понижения степени
:

Здесь использованы формулы 2а и 7а таблицы 1.

Здесь наряду с формулами 2 и 8 таблицы 1 использованы и формулы таблицы 3:
,
.

Пример 5. Найти интегралы:

а)
; б)

в)
; г)
.

Решение.

а) Произведение
можно дополнить (см. формулы 4 и 5 таблицы 3) до дифференциала функции
, где а и b – любые константы,
. Действительно, , откуда
.

Тогда имеем:

б) Используя формулу 6 таблицы 3, имеем
, а также
, значит, присутствие в подынтегральном выражении произведения
означает подсказку: под знак дифференциала нужно внести выражение
. Поэтому получаем

в) Так же как в пункте б), произведение
можно дополнить до дифференциала функции
. Тогда получим:

г) Сначала воспользуемся свойствами линейности интеграла:

Пример 6. Найти интегралы:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

Решение.

а) Учитывая, что
(формула 9 таблицы 3), преобразуем:

б) Используя формулу 12 таблицы 3, получим

в) Учитывая формулу 11 таблицы 3, преобразуем

г) Используя формулу 16 таблицы 3, получим:

Пример 7. Найти интегралы:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

Решение.

а) Все представленные в этом примере интегралы имеют общую особенность : подынтегральная функция содержит квадратный трехчлен. Поэтому и способ вычисления этих интегралов будет основан на одном и том же преобразовании – выделении полного квадрата в этом квадратном трехчлене.

б)

.

в)

г)

Прием подведения под знак дифференциала является устной реализацией более общего приема вычисления интеграла, называемого методом подстановки или заменой переменной. Действительно, каждый раз, подбирая подходящую формулу таблицы 1 к полученной в результате подведения под знак дифференциала функции, мы мысленно заменяли буквой и функцию, внесенную под знак дифференциала. Поэтому, если интегрирование путем подведения под знак дифференциала не очень получается, можно непосредственно делать замену переменной. Подробнее об этом – в следующем пункте.

Представлен обзор методов вычисления неопределенных интегралов. Рассмотрены основные методы интегрирования, которые включают в себя интегрирование суммы и разности, вынесение постоянной за знак интеграла, замену переменной, интегрирование по частям. Также рассмотрены специальные методы и приемы интегрирования дробей, корней, тригонометрических и показательных функций.

Содержание

Правило интегрирования суммы (разности)

Вынесение постоянной за знак интеграла

Пусть c - постоянная, не зависящая от x . Тогда ее можно вынести за знак интеграла:

Замена переменной

Пусть x - функция от переменной t , x = φ(t) , тогда
.
Или наоборот, t = φ(x) ,
.

С помощью замены переменной можно не только вычислить простые интегралы, но и упростить вычисление более сложных.

Правило интегрирования по частям

Интегрирование дробей (рациональных функций)

Введем обозначение. Пусть P k (x), Q m (x), R n (x) обозначают многочлены степеней k, m, n , соответственно, относительно переменной x .

Рассмотрим интеграл, состоящий из дроби многочленов (так называемая рациональная функция):

Если k ≥ n , то сначала нужно выделить целую часть дроби:
.
Интеграл от многочлена S k-n (x) вычисляется по таблице интегралов.

Остается интеграл:
, где m < n .
Для его вычисления, подынтегральное выражение нужно разложить на простейшие дроби.

Для этого нужно найти корни уравнения:
Q n (x) = 0 .
Используя полученные корни, нужно представить знаменатель в виде произведения сомножителей:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ... .
Здесь s - коэффициент при x n , x 2 + ex + f > 0 , x 2 + gx + k > 0 , ... .

После этого разложить дробь на простейшие:

Интегрируя, получаем выражение, состоящее из более простых интегралов.
Интегралы вида

приводятся к табличным подстановкой t = x - a .

Рассмотрим интеграл:

Преобразуем числитель:
.
Подставляя в подынтегральное выражение, получаем выражение, в которое входят два интеграла:
,
.
Первый, подстановкой t = x 2 + ex + f приводится к табличному.
Второй, по формуле приведения:

приводится к интегралу

Приведем его знаменатель к сумме квадратов:
.
Тогда подстановкой , интеграл

также приводится к табличному.

Интегрирование иррациональных функций

Введем обозначение. Пусть R(u 1 , u 2 , ... , u n) означает рациональную функцию от переменных u 1 , u 2 , ... , u n . То есть
,
где P, Q - многочлены от переменных u 1 , u 2 , ... , u n .

Дробно-линейная иррациональность

Рассмотрим интегралы вида:
,
где - рациональные числа, m 1 , n 1 , ..., m s , n s - целые числа.
Пусть n - общий знаменатель чисел r 1 , ..., r s .
Тогда интеграл сводится к интегралу от рациональных функций подстановкой:
.

Интегралы от дифференциальных биномов

Рассмотрим интеграл:
,
где m, n, p - рациональные числа, a, b - действительные числа.
Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.

1) Если p - целое. Подстановка x = t N , где N - общий знаменатель дробей m и n .
2) Если - целое. Подстановка a x n + b = t M , где M - знаменатель числа p .
3) Если - целое. Подстановка a + b x - n = t M , где M - знаменатель числа p .

Если ни одно из трех чисел не является целым числом, то по теореме Чебышева интегралы данного вида не могут быть выражены конечной комбинацией элементарных функций.

В ряде случаев, сначала бывает полезным привести интеграл к более удобным значениям m и p . Это можно сделать с помощью формул приведения:
;
.

Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена

Здесь мы рассматриваем интегралы вида:
,

Подстановки Эйлера

Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:
, при a > 0 ;
, при c > 0 ;
, где x 1 - корень уравнения a x 2 + b x + c = 0 . Если это уравнение имеет действительные корни.

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Прямые методы

В большинстве случаев, подстановки Эйлера приводят к более длинным вычислениям, чем прямые методы. С помощью прямых методов интеграл приводится к одному из перечисленных ниже видов.

I тип

Интеграл вида:
,
где P n (x) - многочлен степени n .

Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество:

Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты A i .

II тип

Интеграл вида:
,
где P m (x) - многочлен степени m .

Подстановкой t = (x - α) -1 этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если m ≥ n , то у дроби следует выделить целую часть.

III тип

Третий и наиболее сложный тип:
.

Здесь нужно сделать подстановку:
.
После чего интеграл примет вид:
.
Далее, постоянные α, β нужно выбрать такими, чтобы коэффициенты при t обратились в нуль:
B = 0, B 1 = 0 .
Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов:
;
,
которые интегрируются, соответственно подстановками:
z 2 = A 1 t 2 + C 1 ;
y 2 = A 1 + C 1 t -2 .

Общий случай

Интегрирование трансцендентных (тригонометрических и показательных) функций

Заранее отметим, что те методы, которые применимы для тригонометрических функций, также применимы и для гиперболических функций. По этой причине мы не будем рассматривать интегрирование гиперболических функций отдельно.

Интегрирование рациональных тригонометрических функций от cos x и sin x

Рассмотрим интегралы от тригонометрических функций вида:
,
где R - рациональная функция. Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы, которые следует преобразовать через синусы и косинусы.

При интегрировании таких функций полезно иметь в виду три правила:
1) если R(cos x, sin x) умножается на -1 от перемены знака перед одной из величин cos x или sin x , то полезно другую из них обозначить через t .
2) если R(cos x, sin x) не меняется от перемены знака одновременно перед cos x и sin x , то полезно положить tg x = t или ctg x = t .
3) подстановка во всех случаях приводит к интегралу от рациональной дроби. К сожалению, эта подстановка приводит к более длинным вычислениям чем предыдущие, если они применимы.

Произведение степенных функций от cos x и sin x

Рассмотрим интегралы вида:

Если m и n - рациональные числа, то одной из подстановок t = sin x или t = cos x интеграл сводится к интегралу от дифференциального бинома.

Если m и n - целые числа, то интегралы вычисляются интегрированием по частям. При этом получаются следующие формулы приведения:

;
;
;
.

Интегрирование по частям

Применение формулы Эйлера

Если подынтегральное выражение линейно относительно одной из функций
cos ax или sin ax , то удобно применить формулу Эйлера:
e iax = cos ax + isin ax (где i 2 = -1 ),
заменив эту функцию на e iax и выделив действительную (при замене cos ax ) или мнимую часть (при замене sin ax ) из полученного результата.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

См. также:

Непосредственное интегрирование

Вычисление неопределенных интегралов с помощью таблицы интегралов и их основных свойств называется непосредственным интегрированием.

Пример 1. Найдем интеграл

Применив второе и пятое свойства неопределенного интеграла, получим

.(*)

Далее, используя формулы II , Ш, IV , VIII таблицы и третье свойство интегралов, находим каждый из слагаемых интегралов отдельно:

= ,

Подставим эти результаты в (*) и, обозначив сумму всех постоянных (ЗС 1 +7С 2 +4С 3 +2С 4 +С 5) буквой С , получим окончательно:

Проверим результат дифференцированием. Найдем производную полученного выражения:

Мы получили подынтегральную функцию, это доказывает, что интегрирование выполнено верно.

Пример 2 . Найдем

В таблице интегралов приведено следствие III а из формулы III :

Чтобы воспользоваться этим следствием, найдем дифференциал функции, стоящей в показателе степени:

Для создания этого дифференциала достаточно домножить знаменатель дроби под интегралом на число 2 (очевидно, чтобы дробь не изменилась, необходимо при этом умножить на 2 и числитель). После вынесения постоянного множителя за знак интеграла он становится готовым для применения табличной формулы III а :

Проверка:

следовательно, интегрирование выполнено правильно.

Пример 3 . Найдем

Так как из выражения, стоящего в числителе, можно сконструировать дифференциал квадратичной функции, то следует выделить в знаменателе такую функцию:

Для создания ее дифференциала достаточно умножить числитель на 4 (знаменатель при этом также умножим на 4 и вынесем этот множитель знаменателя за интеграл). В результате мы получим возможность использовать табличную формулу X :

Проверка:

т.е. интегрирование выполнено верно.

Пример 4 . Найдем

Заметим, что теперь квадратичная функция, дифференциал которой можно создать в числителе, является подкоренным выражением. Поэтому разумно будет записать подынтегральную функцию как степенную, чтобы воспользоваться формулой I таблицы интегралов:

Проверка:

Вывод: интеграл найден правильно.

Пример 5. Найдем

Обратим внимание на то, что подынтегральное выражение содержит

функцию ; и ее дифференциал . Но дробь является также и дифференциалом всего подкоренного выражения (с точностью до знака):

Поэтому разумно представить дробь в виде степени:

Тогда после домножения числителя и знаменателя на (-1) мы получим степенной интеграл (табличная формула I ):

Дифференцированием результата убеждаемся, что интегрирование выполнено верно.

Пример 6. Найдем

Легко убедиться, что в этом интеграле из выражения дифференциал подкоренной функции не удастся получить с помощью числовых коэффициентов. Действительно,

где k -константа. Зато, по опыту примера 3 , можно сконструировать интеграл, совпадающий по виду с формулой X из таблицы интегралов:

Пример 7. Найдем

Обратим внимание на то, что в числителе легко создается дифференциал кубической функции d (x 3 ) = 3 x 2 dx . После чего мы получаем возможность использовать табличную формулу VI :

Пример 8. Найдем

Известно, что производной функции arcsin x является дробь

тогда

Это приводит нас к выводу, что искомый интеграл имеет вид степенного интеграла: , в котором и = arcsin x , a значит,

Пример 9 . Для нахождения

воспользуемся той же табличной формулой I и тем, что

Получим

Пример 10 . Найдем

Поскольку выражение является дифференциалом функции , то, используя формулу I таблицы интегралов, получаем

Пример 11. Для нахождения интеграла

воспользуемся последовательно: тригонометрической формулой

тем фактом, что

и формулой II таблицы интегралов:

Пример 12 . Найдем

Так как выражение

является дифференциалом функции , то, используя ту же формулу II , получаем

Пример 13 . Найдем интеграл

Заметим, что степень переменной в числителе на единицу меньше, чем в знаменателе. Это позволяет в числителе создать дифференциал знаменателя. Найдем

После вынесения постоянного множителя за знак интеграла домножим числитель и знаменатель подынтегральной дроби на (-7), получим:

(Здесь использовалась та же формула II из таблицы интегралов).

Пример 14. Найдем интеграл

Представим числитель в ином виде: 1 + 2х 2 = (1 + х 2 ) + х 2 и выполним почленное деление, после чего используем пятое свойство интегралов и формулы I и VIII таблицы:

Пример 15. Найдем

Вынесем постоянный множитель за знак интеграла, вычтем и прибавим в числителе 5, затем выполним почленное деление числителя на знаменатель и воспользуемся пятым свойством интеграла:

Для вычисления первого интеграла используем третье свойство интегралов, а второй интеграл представим в виде, удобном для применения формулы IX :

Пример 16. Найдем

Отметим, что показатель степени переменной в числителе на единицу меньше, чем в знаменателе (что характерно для производной), а значит, в числителе можно сконструировать дифференциал знаменателя. Найдем дифференциал выражения, стоящего в знаменателе:

d (x 2 - 5)=(х 2 - 5)" dx = 2 xdx .

Для получения в числителе дифференциала знаменателя не хватает постоянного множителя 2. Умножим и разделим подынтегральную функцию на 2 и вынесем постоянный множитель -

за знак интеграла

Здесь мы использовали II табличный интеграл.

Рассмотрим подобную же ситуацию в следующем примере.

Пример 17. Найдем

Вычислим дифференциал знаменателя:

Создадим его в числителе с помощью четвертого свойства интегралов:

Более сложная подобная ситуация будет рассмотрена в примере 19.

Пример 18, Найдем

Выделим в знаменателе полный квадрат:

Получим

После выделения полного квадрата в знаменателе мы получили интеграл, близкий по виду к формулам VIII и IX таблицы интегралов, но в знаменателе формулы VIII слагаемые полные квадраты имеют одинаковые знаки, а в знаменателе нашего интеграла знаки слагаемых различны, хотя и не совпадают со знаками девятой формулы. Добиться полного совпадения знаков слагаемых в знаменателе со знаками в формуле IX удается вынесением коэффициента (-1) за интеграл. Итак, чтобы применить формулу IX таблицы интегралов, проведем следующие мероприятия:

1) вынесем(-1)за скобки в знаменателе и затем за интеграл;

2) найдем дифференциал выражения

3) создадим в числителе найденный дифференциал;

4) представим число 2 в виде, удобном для применения формулы IX таблицы:

Тогда

Используя IX формулу таблицы интегралов, получим

Пример 19. Найдем

Используя опыт, приобретенный при отыскании интегралов в предыдущих двух примерах, и полученные в них результаты, будем иметь

Обобщим некоторый опыт, полученный в результате решения примеров 17,18,19.

Итак, если мы имеем интеграл вида

(пример 18 ), то, выделив полный квадрат в знаменателе, можно прийти к одной из табличных формул VIII или IX .

Интеграл же вида

(пример 19 ) после создания в числителе производной знаменателя распадается на два интеграла: первый – вида

( пример 17 ), берущийся по формуле П , и второй -вида

(пример 18 ), берущийся по одной из формул VIII или IX .

Пример 20 . Найдем

Интеграл вида

можно свести к виду табличных формул X или XI , выделив в подкоренном выражении полный квадрат. В нашем случае

= .

Подкоренное выражение имеет вид выражения

Аналогично поступают всегда при вычислении интегралов вида

если один из показателей степениположительноенечетное число, а второй-произвольное действительное число (пример 23 ).

Пример 23 . Найдем

Используя опыт предыдущего примера и тождество

2 sin 2 φ = l - cos 2 φ ,2 cos 2 φ = l + cos 2 φ

Подставив полученную сумму под интеграл, получим

Таблица1. Таблица интегралов

2.
(
), u >0.

2a.
(α=0);

2б.
(α=1);

2в.
(α=).

3а.

5а)

6а.

7а.

10.

10а.

11.

11а.

12.

13.

13а.

Таблица 2. Таблица производных и правила дифференцирования:

6.а.

(sin и ) = cos и  и 

(cos u ) = – sin и  и 

Таблица 3. Таблица дифференциалов

1.
(b = Const )

2.
(
)

5.
(b = Const )

10.

11.

12.

14.

15.

16.

17.

Причем использовать эти формулы можно, как читая их слева направо, так и справа налево.

Пример 1. Найти интегралы:

а)
; б)
;

в)
г)

д)
.

Решение.

а) Преобразуем подынтегральную функцию, разделив почленно числитель на знаменатель:

Здесь использовано свойство степеней:
.

б) Сначала преобразуем числитель дроби, затем разделим почленно числитель на знаменатель:

Здесь также использовано свойство степеней:
.

Здесь использовано свойство:
,
.

Здесь использованы формулы 2 и 5 таблицы 1.

Пример 2. Найти интегралы:

а)
; б)
;

в)
г)

д)
.

Решение.

а) Преобразуем подынтегральную функцию, используя тригонометрическое тождество :

Здесь вновь использовано почленное деление числителя на знаменатель и формулы 8 и 9 таблицы 1.

б) Аналогично преобразуем, используя тождество
:

г) Применим формулу понижения степени:

д) Используя тригонометрические тождества, преобразуем:

если
, то для любой дифференцируемой функции и = и (х ) имеет место:
.

Например,
, но и
, и
, и
.

Или
и
, и
.

(в последнем примере записано ln(3 + x 2) вместо ln|3 + x 2 | , так как выражение 3 + x 2 всегда положительно).

Пример 3. Найти интегралы:

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
; е)
;

ж)
; з)
.

Решение.

а) .

Здесь использована формула 3 таблицы 1.

в) Аналогично, учитывая что , преобразуем:

.

Здесь использована формула 2в таблицы 1.

г)

.

д) ;

е)

.

ж) ;

з)

.

Пример 4. Найти интегралы:

а)
б)

в)
.

Решение.

а) Преобразуем:

Здесь так же использована формула 3 таблицы 1.

б) Используем формулу понижения степени
:

Здесь использованы формулы 2а и 7а таблицы 1.

Здесь наряду с формулами 2 и 8 таблицы 1 использованы и формулы таблицы 3:
,
.

Пример 5. Найти интегралы:

а)
; б)

в)
; г)
.

Решение.

Тогда имеем:

в) Так же как в пункте б), произведение
можно дополнить до дифференциала функции
. Тогда получим:

г) Сначала воспользуемся свойствами линейности интеграла:

Пример 6. Найти интегралы:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

Решение.

а) Учитывая, что
(формула 9 таблицы 3), преобразуем:

б) Используя формулу 12 таблицы 3, получим

в) Учитывая формулу 11 таблицы 3, преобразуем

г) Используя формулу 16 таблицы 3, получим:

Пример 7. Найти интегралы:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

Решение.

б)

.

в)

г)

Непосредственное интегрирование.

Интегрирование методом подстановки.

Подведение под знак дифференциала.

Интегрирование по частям.

Пример 1. Найти интегралы:

а); б) ;

в) г)

Пример 2. Найти интегралы:

а) ; б) ;

в) г)

Пример 3. Найти интегралы:

а) ; б) ; в);

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

в) Аналогично, учитывая что , преобразуем:

.

Здесь использована формула 2в таблицы 1.

г)

.

д) ;

е)

.

ж) ;

з)

.

Пример 4. Найти интегралы:

а) б)

Пример 5. Найти интегралы:

Пример 6. Найти интегралы:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Пример 7. Найти интегралы:

а) ; б) ;

в) ; г) .

б)

.

Правило интегрирования суммы (разности)

Вынесение постоянной за знак интеграла

Замена переменной

Правило интегрирования по частям

Интегрирование дробей (рациональных функций)

Интегрирование иррациональных функций

Дробно-линейная иррациональность

Интегралы от дифференциальных биномов

Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена

Подстановки Эйлера

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Прямые методы

I тип

II тип

III тип

Общий случай

Интегрирование трансцендентных (тригонометрических и показательных) функций

Интегрирование рациональных тригонометрических функций от cos x и sin x

Произведение степенных функций от cos x и sin x

Интегрирование по частям

Применение формулы Эйлера

Пример 1. Найти интегралы:

а); б) ;

в) г)

Пример 2. Найти интегралы:

а) ; б) ;

в) г)

Пример 3. Найти интегралы:

а) ; б) ; в);

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

в) Аналогично, учитывая что , преобразуем:

.

Здесь использована формула 2в таблицы 1.

г)

.

д) ;

е)

.

ж) ;

з)

.

Пример 4. Найти интегралы:

а) б)

а)
; б)
;

в)
г)

а)
; б)
;

в)
г)

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
; е)
;

ж)
; з)
.

а)
б)

а)
; б)
;

в)
; г)
.

а)
; б)
;

в)
; г)
.

а)
; б)
;

в)
г)

а)
; б)
;

в)
г)

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
; е)
;

ж)
; з)
.

а)
б)

а)
; б)
;

в)
; г)
.

а)
; б)
;

в)
; г)
.