Угол между векторами

Рассмотрим два данных вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Отложим от произвольно выбранной точки $O$ векторы $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$, тогда угол $AOB$ называется углом между векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ (рис. 1).

Рисунок 1.

Отметим здесь, что если векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ сонаправлены или один из них является нулевым вектором, тогда угол между векторами равен $0^0$.

Обозначение: $\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}$

Понятие скалярного произведения векторов

Математически это определение можно записать следующим образом:

Скалярное произведение может равняться нулю в двух случаях:

    Если один из векторов будет нулевым вектором (Так как тогда его длина равна нулю).

    Если векторы будут взаимно перпендикулярны (то есть $cos{90}^0=0$).

Отметим также, что скалярное произведение больше нуля, если угол между этими векторами острый (так как ${cos \left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right)\ } >0$), и меньше нуля, если угол между этими векторами тупой (так как ${cos \left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right)\ }

С понятием скалярного произведения связано понятие скалярного квадрата.

Определение 2

Скалярным квадратом вектора $\overrightarrow{a}$ называется скалярное произведение этого вектора самого на себя.

Получаем, что скалярный квадрат равен

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{a}\right|{cos 0^0\ }=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{a}\right|={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2\]

Вычисление скалярного произведения по координатам векторов

Помимо стандартного способа нахождения значения скалярного произведения, который вытекает из определения, существует еще один способ.

Рассмотрим его.

Пусть векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ имеют координаты $\left(a_1,b_1\right)$ и $\left(a_2,b_2\right)$, соответственно.

Теорема 1

Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равно сумме произведений соответствующих координат.

Математически это можно записать следующим образом

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=a_1a_2+b_1b_2\]

Доказательство.

Теорема доказана.

Эта теорема имеет несколько следствий:

Следствие 1: Векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $a_1a_2+b_1b_2=0$

Следствие 2: Косинус угла между векторами равен $cos\alpha =\frac{a_1a_2+b_1b_2}{\sqrt{a^2_1+b^2_1}\cdot \sqrt{a^2_2+b^2_2}}$

Свойства скалярного произведения векторов

Для любых трех векторов и действительного числа $k$ справедливо:

    ${\overrightarrow{a}}^2\ge 0$

    Данное свойство следует из определения скалярного квадрата (определение 2).

    Переместительный закон: $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}$.

    Данное свойство следует из определения скалярного произведения (определение 1).

    Распределительный закон:

    $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}$. \end{enumerate}

    По теореме 1, имеем:

    \[\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+b_1b_3+b_2b_3==\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\]

    Сочетательный закон: $\left(k\overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})$. \end{enumerate}

    По теореме 1, имеем:

    \[\left(k\overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{b}=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})\]

Пример задачи на вычисление скалярного произведения векторов

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, если $\left|\overrightarrow{a}\right|=3$ и $\left|\overrightarrow{b}\right|=2$, а угол между ними равен ${{30}^0,\ 45}^0,\ {90}^0,\ {135}^0$.

Решение.

Используя определение 1, получаем

Для ${30}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({30}^0\right)\ }=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\]

Для ${45}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({45}^0\right)\ }=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\]

Для ${90}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({90}^0\right)\ }=6\cdot 0=0\]

Для ${135}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({135}^0\right)\ }=6\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3\sqrt{2}\]

): ⟨ a | b ⟩ {\displaystyle \langle a|b\rangle }

В простейшем случае обычного пространства скалярное произведение ненулевых векторов и b {\displaystyle \mathbf {b} } определяется как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними :

(a , b) = | a | | b | cos ⁡ (θ) {\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b})=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta)}

Равносильное определение: скалярное произведение есть произведение длины проекции первого вектора на второй и длины второго вектора (см. рисунок). Если хотя бы один из векторов нулевой, то произведение считается равным нулю .

У понятия скалярного произведения существует также большое количество обобщений для различных векторных пространств , то есть для множеств векторов с операциями сложения и умножения на скаляры . Данное выше геометрическое определение скалярного произведения в общем случае непригодно, так как неясно, что подразумевается под длинами векторов и величиной угла между ними. Поэтому в современной математике используется обратный подход: аксиоматически определяется скалярное произведение, а уже через него - длины и углы . В частности, скалярное произведение определяется для комплексных векторов , многомерных и бесконечномерных пространств , в тензорной алгебре .

Скалярное произведение и его обобщения играют чрезвычайно большую роль в векторной алгебре , теории многообразий , механике и физике. Например, работа силы при механическом перемещении равна скалярному произведения вектора силы на вектор перемещения .

Определение

Определение в евклидовом пространстве

В n {\displaystyle n} -мерном вещественном евклидовом пространстве векторы определяются своими координатами - наборами n {\displaystyle n} вещественных чисел в ортонормированном базисе . Определить скалярное произведение векторов можно так :

(a , b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + a n b n {\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\dots +a_{n}b_{n}}

Проверка показывает, что все три аксиомы выполнены.

Например, скалярное произведение векторов { 1 , 3 , − 5 } {\displaystyle \{1,3,-5\}} и { 4 , − 2 , − 1 } {\displaystyle \{4,-2,-1\}} будет вычислено так:

{ 1 , 3 , − 5 } ⋅ { 4 , − 2 , − 1 } = 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ (− 2) + (− 5) ⋅ (− 1) = 4 − 6 + 5 = 3. {\displaystyle {\begin{aligned}\ \{1,3,-5\}\cdot \{4,-2,-1\}&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}}

Для комплексных векторов a = { a 1 , a 2 … a n } , b = { b 1 , b 2 … b n } {\displaystyle \mathbf {a} =\{a_{1},a_{2}\dots a_{n}\},\mathbf {b} =\{b_{1},b_{2}\dots b_{n}\}} определим аналогично :

(a , b) = ∑ k = 1 n a k b k ¯ = a 1 b 1 ¯ + a 2 b 2 ¯ + ⋯ + a n b n ¯ {\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b})=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\overline {b_{k}}}=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}} .

Пример (для n = 2 {\displaystyle n=2} ): { 1 + i , 2 } ⋅ { 2 + i , i } = (1 + i) ⋅ (2 + i ¯) + 2 ⋅ i ¯ = (1 + i) ⋅ (2 − i) + 2 ⋅ (− i) = 3 − i . {\displaystyle \{1+i,2\}\cdot \{2+i,i\}=(1+i)\cdot ({\overline {2+i}})+2\cdot {\overline {i}}=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i.}

Связанные определения

В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия :

Длина вектора, под которой обычно понимается его евклидова норма :

| a | = (a , a) {\displaystyle |\mathbf {a} |={\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a})}}}

(термин "длина" обычно применяется к конечномерным векторам, однако в случае вычисления длины криволинейного пути часто используется и в случае бесконечномерных пространств).

Для любых элементов a , b {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} } векторного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство:

| (a , b) | 2 ⩽ (a , a) (b , b) {\displaystyle \vert (\mathbf {a} ,\mathbf {b})\vert ^{2}\leqslant (\mathbf {a} ,\mathbf {a})(\mathbf {b} ,\mathbf {b})}

В случае, если пространство является псевдоевклидовым , понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

| (a , b) | = | a | | b | ch ⁡ φ . {\displaystyle |(\mathbf {a} ,\mathbf {b})|=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\operatorname {ch} \varphi .}
  • Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.
  • Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством .
    • При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым , а комплексное - эрмитовым или унитарным пространством.
  • Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой . Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.

Свойства

  • Теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения: | B C | 2 = B C → 2 = (A C → − A B →) 2 = ⟨ A C → − A B → , A C → − A B → ⟩ = A C → 2 + A B → 2 − 2 ⟨ A C → , A B → ⟩ = | A B | 2 + | A C | 2 − 2 | A B | | A C | cos ⁡ A ^ {\displaystyle |BC|^{2}={\vec {BC}}^{2}=({\vec {AC}}-{\vec {AB}})^{2}=\langle {\vec {AC}}-{\vec {AB}},{\vec {AC}}-{\vec {AB}}\rangle ={\vec {AC}}^{2}+{\vec {AB}}^{2}-2\langle {\vec {AC}},{\vec {AB}}\rangle =|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|\cos {\hat {A}}}
  • Оценка угла между векторами: в формуле (a , b) = | a | ⋅ | b | ⋅ cos ⁡ ∠ (a , b) {\displaystyle (\mathbf {\mathbf {a} } ,\mathbf {b})=|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b})}} знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.
  • Проекция вектора на направление, определяемое единичным вектором e {\displaystyle \mathbf {e} } : a e = (a , e) = | a | | e | cos ⁡ ∠ (a , e) = | a | cos ⁡ ∠ (a , e) {\displaystyle a_{e}=(\mathbf {a} ,\mathbf {e})=|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e})}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e})}} , так как | e | = 1. {\displaystyle |\mathbf {e} |=1.}
  • Площадь параллелограмма, натянутого на два вектора a {\displaystyle \mathbf {a} \ } и b {\displaystyle \mathbf {b} \ } , равна
(a , a) (b , b) − (a , b) 2 {\displaystyle {\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a})(\mathbf {b} ,\mathbf {b})-(\mathbf {a} ,\mathbf {b})^{2}}}\ }

Лекция: Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

Координаты вектора


Итак, как уже говорилось ранее, вектора – это направленный отрезок, у которого есть собственное начало и конец. Если начало и конец представлены некоторыми точками, значит на плоскости или в пространстве у них есть свои координаты.


Если же у каждой точки есть свои координаты, то мы можем получить и координаты целого вектора.


Допустим, мы имеем некоторый вектор, у которого начало и конец вектора имеют следующие обозначения и координаты: A(A x ; Ay) и B(B x ; By)


Чтобы получить координаты данного вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала:


Для определения координаты вектора в пространстве следует воспользоваться следующей формулой:

Скалярное произведение векторов


Существует два способа определения понятия скалярного произведения:

  • Геометрический способ. Согласно ему, скалярное произведение равно произведению величин данных модулей на косинус угла между ними.
  • Алгебраический смысл. С точки зрения алгебры, скалярное произведение двух вектором – это некая величина, которая получается в результате суммы произведений соответствующих векторов.

Если векторы заданы в пространстве, то следует воспользоваться аналогичной формулой:


Свойства:

  • Если умножить два одинаковых вектора скалярно, то их скалярное произведение будет не отрицательным:
  • Если же скалярное произведение двух одинаковых векторов получилось равным нулю, то эти векторы считаются нулевыми:
  • Если некоторый вектор умножить на себя же, то скалярное произведение получится равным квадрату его модуля:
  • Скалярное произведение имеет коммуникативное свойство, то есть от перестановки векторов скалярное произведение не изменится:
  • Скалярное произведение ненулевых векторов может быть равно нулю только в том случае, если вектора перпендикулярны друг другу:
  • Для скалярного произведения векторов справедлив переместительный закон в случае с умножением одного из векторов на число:
  • При скалярном произведении так же можно использовать дистрибутивное свойство умножения:

Угол между векторами

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {a x ; a y } и b = {b x ; b y } можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a x · b x + a y · b y

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {a x ; a y ; a z } и b = {b x ; b y ; b z } можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a x · b x + a y · b y + a z · b z

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a 1 ; a 2 ; ... ; a n } и b = {b 1 ; b 2 ; ... ; b n } можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 + ... + a n · b n

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

a · a = 0 <=> a = 0

3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

4. Операция скалярного умножения коммуникативна:

5. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b

6. (αa) · b = α(a · b)

7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.

Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a - 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.

Решение:

p · q = (a + 3b) · (5a - 3b) = 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 · 3 2 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ - 9 · 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и b = {4; 8; 1}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5; 2} и b = {4; 8; 1; -2}.


Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Векторным произведением векторов и вектора называется третий вектор , определяемый следующим образом:

2) перпендикулярно, перпендикулярно. (1"")

3) векторы ориентированы также, как и базис всего пространства (положительно или отрицательно).

Обозначают: .

Физический смысл векторного произведения

― момент силы относительно точки О; ― радиус ― вектор точки приложения силы, тогда

причем, если перенести в точку О, то тройка, должна быть ориентирована как вектора базиса.