Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?

Определение .

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.

Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.

Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо :

1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:

2) Из полученного равенства выразить y через x:

Найти функцию, обратную функции y=2x-6.

Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).

y=2x-6 и y=0,5x+3 — . Графиком линейной функции является . Для построения прямой берём две точки.

Однозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение x=f(y) имеет единственное решение. Это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется обратимой ).

Теорема (необходимое и достаточное условие обратимости функции)

Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.

Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.

Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.

Классический пример — . На промежутке $

Так как эта функция убывает и непрерывна на промежутке $X$, то на промежутке $Y=$, которая также убывает и непрерывна на этом промежутке (теорема 1).

Вычислим $x$:

\ \

Выбираем подходящие $x$:

Ответ: обратная функция $y=-\sqrt{x}$.

Задачи на нахождение обратных функций

В этой части рассмотрим обратные функции для некоторых элементарных функций. Задачи будем решать по схеме, данной выше.

Пример 2

Найти обратную функцию для функции $y=x+4$

    Найдем $x$ из уравнения $y=x+4$:

Пример 3

Найти обратную функцию для функции $y=x^3$

Решение.

Так как функция возрастает и непрерывна на всей области определения, то, по теореме 1, она имеет на ней обратную непрерывную и возрастающую функцию.

    Найдем $x$ из уравнения $y=x^3$:

    Находим подходящие значения $x$

    Значение в нашем случае подходит (так как область определения -- все числа)

    Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Пример 4

Найти обратную функцию для функции $y=cosx$ на промежутке $$

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left$ функцию $y=cosx$. Она непрерывна и убывает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left$ на множество $Y=[-1,1]$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=cosx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=[-1,1]$ и отображает множество $[-1,1]$ на множество $\left$.

    Найдем $x$ из уравнения $y=cosx$:

    Находим подходящие значения $x$

    Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Пример 5

Найти обратную функцию для функции $y=tgx$ на промежутке $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ функцию $y=tgx$. Она непрерывна и возрастает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ на множество $Y=R$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=tgx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=R$ и отображает множество $R$ на множество $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

    Найдем $x$ из уравнения $y=tgx$:

    Находим подходящие значения $x$

    Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

    2.Теория обратных функций

    Обратные тригонометрические функции

    Определение обратной функции

    Определение. Если функция f(x) задает взаимно однозначное соответствие между своей областью определения X и своей областью значений У (иными словами, если любым различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции), то говорят, что функция f(x) имеет обратную функцию или что функция f (x ) обратима.

    Определение. Обратная функция - это правило, которое каждому числу у є У сопоставляет число х є X , причем y=f(x). Область определения обратной

    функции есть множество У, область значений - X.

    Теорема о корне. Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, число а - любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень в промежутке I.

    Доказательство. Рассмотрим возрастающую функцию f (в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По условию в промежутке I существует такое число b, что f(b)=a. Покажем, что b - единственный корень уравнения f(x)=a.

    Допустим, что на промежутке I есть еще число с≠ Ь, такое что f(c)=a. Тогда или сb. Но функция f возрастает на промежутке I, поэтому соответственно либо f(c)f(b). Это противоречит равенству f(c)= f(b)=a. Следовательно, сделанное предположение неверно и в промежутке I, кроме числа b, других корней уравнения f(x)=a нет.

    Теорема об обратной функции. Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к f функция g, определенная в области значений f также является возрастающей (соответственно убывающей).

    Доказательство. Положим для определенности, что функция f возрастает. Обратимость функции f - очевидное следствие теоремы о корне. Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к f, возрастает на множестве E(f).

    Пусть х 1 и х 2 - произвольные значения из E(f), такие, что х 2 > х 1 и пусть y 1 = g (х 1), у 2 = g(х 2 ). По определению обратной функции х 1 = f(y 1) и х 2 = f(y 2).

    Воспользовавшись тем условием, что f - возрастающая функция, находим, что допущение y 1≥ y 2 приводит к выводу f(y 1) > f(y 2), то есть х 1 > х 2 . Это

    противоречит предположению х 2 > х 1 Поэтому, y 1 > y 2 , то есть из условия х 2 > х 1 следует, что g(x 2)> g(х 1). Что и требовалось доказать.

    Исходная функция и обратная ей являются взаимно обратными.

    Графики взаимно обратных функций

    Теорема. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у=х.

    Доказательство. Заметим, что по графику функции f можно найти числовое значение обратной к f функции g в произвольной точке а. Для этого нужно взять точку с координатой а не на горизонтальной оси (как это обычно делается), а на вертикальной. Из определения обратной функции следует, что значение g(a) равно b.

    Для того, чтобы изобразить график g в привычной системе координат, надо отразить график f относительно прямой у=х.

    Алгоритм составления обратной функции для функции y=f(x), x X.

    1 .Убедиться в том, что функция y=f(x) обратима на X.

    2.Из уравнения y=f(x) х выразить через у, учитывая при этом, что х є X.

    З.В полученном равенстве поменять местами х и у.

    2.2.Определение, свойства и графики обратных тригонометрических

    функций

    Арксинус

    Функция синус возрастает на отрезке
    и принимает все значения от -1 до 1. Следовательно, по теореме о корне для любого числа а, такого, что
    , в промежутке существует единственный корень уравнения sin x = a. Это число и называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

    Определение. Арксинусом числа а, где , называется такое число из отрезка, синус которого равен а.

    Свойства.

      D(у) = [ -1;1 ]

      Е(у) = [-π/2;π/2]

      у (-х) = arcsin(-х) = - arcsin х – функция нечетная, график симметричен относительно точки О(0;0).

      arcsin х = 0 при х = 0.

      arcsin х > 0 при х є (0;1]

    arcsin х < 0 при х є [-1;0)

      у = arcsin х возрастает при любом х є [-1;1]

    1 ≤ х 1 < х 2 ≤ 1 <=> arcsin х 1 < arcsin х 2 – функция возрастающая.

    Арккосинус

    Функция косинус убывает на отрезке и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа а, такого, что |а|1, на отрезке существует единственный корень в уравнении cosx=a. Это число в называют арккосинусом числа а и обозначают arcos а.

    Определение . Арккосинусом числа а, где -1 а 1, называется такое число из отрезка , косинус которого равен а.

    Свойства.

    1. Е(у) =

      у(-х) = arccos(-х) = π - arccos х – функция не является ни четной, ни нечетной.

      arccos х = 0 при х = 1

      arccos х > 0 при х є [-1;1)

    arccos х < 0 – нет решений

      у = arccos х убывает при любом х є [-1;1]

    1 ≤ х 1 < х 2 ≤ 1 <=> arcsin х 1 ≥ arcsin х 2 – убывающая.

    Арктангенс

    Функция тангенс возрастает на отрезке -
    , следовательно, по теореме о корне уравнение tgx=a, где а - любое действительное число, имеет единственный корень х на интервале -. Этот корень называют арктангенсом числа а и обозначают arctga.

    Определение. Арктангенсом числа a R называется такое число х , тангенс которого равен а.

    Свойства.

      Е(у) = (-π/2;π/2)

      у(-х) = у = arctg(-х) = - arctg х – функция является нечетной, график симметричен относительно точки О(0;0).

      arctg х = 0 при х = 0

      Функция возрастает при любом х є R

    -∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=> arctg х 1 < arctg х 2

    Арккотангенс

    Функция котангенс на интервале (0;) убывает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а в интервале (0;) существует единственный корень уравнения ctg х = а. Это число а называют арккотангенсом числа а и обозначают arcctg а.

    Определение. Арккотангенсом числа а, где а R, называется такое число из интервала (0;), котангенс которого равен а.

    Свойства.

      Е(у) = (0;π)

      у(-х) = arcctg(-х) = π - arcctg х – функция не является ни четной, ни нечетной.

      arcctg х = 0 – не существует.

      Функция у = arcctg х убывает при любом х є R

    -∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=> arcctg х 1 > arcctg х 2

      Функция непрерывна при любом х є R.

    2.3 Тождественные преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

    Пример 1 . Упростить выражение:

    а) где

    Решение. Положим
    . Тогда
    и
    Чтобы найти
    , воспользуемся соотношением
    Получаем
    Но . На этом отрезке косинус принимает только положительные значения. Таким образом,
    , то есть где
    .

    б)

    Решение.

    Решение. Положим
    . Тогда
    и
    Найдем сначала , для чего воспользуемся формулой
    , откуда
    Так как и на этом интервале косинус принимает только положительные значения, то
    .

    Функция - это зависимость одной переменной от другой. Функции можно задавать способом таблицы, словесным способом, графический, формулой.

    Функции подразделяются на следующие виды:

    • Линейная функция
    • Квадратичная функция
    • Кубическая функция
    • Тригонометрическая функция
    • Степенная функция
    • Показательная функция
    • Логарифмическая функция

    Область определения функции D(у) - это множество всех допустимых значений аргумента x (независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции y = f(x) имеет смысл. Другими словами, это область допустимых значений выражения f(x).

    Чтобы по графику функции y = f(x) найти ее область определения, нужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ, записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.

    Множество значений фнкции Е(у) - это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная y.

    Чтобы по графику функции y = f(x) найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции.

    Обратная функция - функция y=g(x), которая получается из данной функции y = f(x), если из отношения x = f(у) выразить y через x.

    Чтобы для данной функции y = f(x) найти обратную, надо:

    1. В соотношении y = f(x) заменить x на y, а y - на x: x = f(у) .
    2. В полученном выражении x=f(у) выразить y через x.

    Функции f(x) и g(x) - взаимно обратны. Рассмотрим это на примере

    Примеры нахождения обратных функций:

    Область определения и область значений функций f и g меняются местами: область определения f является областью значений g, а область значений f - областью определения g.

    Не для всякой функции можно указать обратную. Условие обратимости функции - ее монотонность, то есть функция должна только возрастать или только убывать. Если функция не монотонна на всей области определения, но монотонная на некотором промежутке, тогда можно задать обратную ей функцию только на этом промежутке.

    Свойства взаимно обратных функций Отметим некоторые свойства взаимно обратных функций. 1) Тождества .

    Пусть f и g – взаимно обратные функции. Тогда: f(g(y)) = у и g(f(x)) = х . 2) Область определения .

    Пусть f и g – взаимно обратные функции. Область определения функции f совпадает с областью значений функции g , и наоборот, область значений функции f совпадает с областью определения функции g . 3) Монотонность .

    Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций. 4) Графики .

    Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой у = х .

    Преобразования графиков функций - это линейные преобразования функции y = f (x ) или её аргумента x к виду y = af (kx + b ) + m , а также преобразование с использованием модуля.

    Зная, как строить графики функции y = f(x) , где

    можно построить график функции y = af(kx + b) + m.

    Вопросы к конспектам

    Y = 0,5x - 4

    Найдите область определения функции:

    Найдите область определения функции:

    Определить четность и нечетность функции:

    Решите дробно-рациональное уравнение:

    Найдите обратную функцию данной функции:

    Найдите значение выражения 6f(-1) +3f(5), если

    Допустим, что у нас есть некая функция y = f (x) , которая является строго монотонной (убывающей или возрастающей) и непрерывной на области определения x ∈ a ; b ; область ее значений y ∈ c ; d , а на интервале c ; d при этом у нас будет определена функция x = g (y) с областью значений a ; b . Вторая функция также будет непрерывной и строго монотонной. По отношению к y = f (x) она будет обратной функцией. То есть мы можем говорить об обратной функции x = g (y) тогда, когда y = f (x) на заданном интервале будет либо убывать, либо возрастать.

    Две этих функции, f и g , будут взаимно обратными.

    Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?

    Это нужно нам для решения уравнений y = f (x) , которые записываются как раз с помощью этих выражений.

    Допустим, нам нужно найти решение уравнения cos (x) = 1 3 . Его решениями будут все точки: x = ± a rс c o s 1 3 + 2 π · k , k ∈ Z

    Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.

    Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным.

    Пример 1

    Условие: какая функция будет обратной для y = 3 x + 2 ?

    Решение

    Область определений и область значений функции, заданной в условии, – это множество всех действительных чисел. Попробуем решить данное уравнение через x , то есть выразив x через y .

    Мы получим x = 1 3 y - 2 3 . Это и есть нужная нам обратная функция, но y здесь будет аргументом, а x - функцией. Переставим их, чтобы получить более привычную форму записи:

    Ответ: функция y = 1 3 x - 2 3 будет обратной для y = 3 x + 2 .

    Обе взаимно обратные функции можно отобразить на графике следующим образом:

    Мы видим симметричность обоих графиков относительно y = x . Эта прямая является биссектрисой первого и третьего квадрантов. Получилось доказательство одного из свойств взаимно обратных функций, о котором мы поговорим далее.

    Возьмем пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.

    Пример 2

    Условие: определите, какая функция будет обратной для y = 2 x .

    Решение

    Для заданной функции областью определения являются все действительные числа. Область значений лежит в интервале 0 ; + ∞ . Теперь нам нужно выразить x через y , то есть решить указанное уравнение через x . Мы получаем x = log 2 y . Переставим переменные и получим y = log 2 x .

    В итоге у нас вышли показательная и логарифмическая функции, которые будут взаимно обратными друг другу на всей области определения.

    Ответ: y = log 2 x .

    На графике обе функции будут выглядеть так:

    Основные свойства взаимно обратных функций

    В этом пункте мы перечислим основные свойства функций y = f (x) и x = g (y) , являющихся взаимно обратными.

    Определение 1

    1. Первое свойство мы уже вывели ранее: y = f (g (y)) и x = g (f (x)) .
    2. Второе свойство вытекает из первого: область определения y = f (x) будет совпадать с областью значений обратной функции x = g (y) , и наоборот.
    3. Графики функций, являющихся обратными, будут симметричными относительно y = x .
    4. Если y = f (x) является возрастающей, то и x = g (y) будет возрастать, а если y = f (x) убывает, то убывает и x = g (y) .

    Советуем внимательно отнестись к понятиям области определения и области значения функций и никогда их не путать. Допустим, что у нас есть две взаимно обратные функции y = f (x) = a x и x = g (y) = log a y . Согласно первому свойству, y = f (g (y)) = a log a y . Данное равенство будет верным только в случае положительных значений y , а для отрицательных логарифм не определен, поэтому не спешите записывать, что a log a y = y . Обязательно проверьте и добавьте, что это верно только при положительном y .

    А вот равенство x = f (g (x)) = log a a x = x будет верным при любых действительных значениях x .

    Не забывайте про этот момент, особенно если приходится работать с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями. Так, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3 , потому что область значений арксинуса - π 2 ; π 2 и 7 π 3 в нее не входит. Верной будет запись

    a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = п о ф о р м у л е п р и в и д е н и я = a r c sin sin π 3 = π 3

    А вот sin a r c sin 1 3 = 1 3 – верное равенство, т.е. sin (a r c sin x) = x при x ∈ - 1 ; 1 и a r c sin (sin x) = x при x ∈ - π 2 ; π 2 . Всегда будьте внимательны с областью значений и областью определений обратных функций!

    • Основные взаимно обратные функции: степенные

    Если у нас есть степенная функция y = x a , то при x > 0 степенная функция x = y 1 a также будет обратной ей. Заменим буквы и получим соответственно y = x a и x = y 1 a .

    На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):

    • Основные взаимно обратные функции: показательные и логарифмические

    Возьмем a,которое будет положительным числом, не равным 1 .

    Графики для функций с a > 1 и a < 1 будут выглядеть так:

    • Основные взаимно обратные функции: тригонометрические и обратные тригонометрические

    Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью).